雙曲正弦

雙曲正弦
性質
奇偶性	奇
定義域	(-∞,∞)
到達域	(-∞,∞)
特定值
當x=0	0
當x=+∞	+∞
當x=-∞	-∞
最大值	+∞
最小值	-∞
其他性質
漸近線	N/A
根	0
臨界點	N/A
拐點	0

在數學中，雙曲正弦是一種雙曲函數，是雙曲幾何中，與歐幾里得幾何的正弦函數相對應的函數。雙曲正弦可以視為正弦函數的類似物，然而雙曲正弦不具備週期性，且在定義域為實數的情況下，其值域也包括了整個實數域。一般的正弦可以表示為單位圓上特定角構成之弦長的一半，或該角與圓之交點的y座標；而雙曲正弦則代表單位雙曲線上特定雙曲角構成之雙曲弦長的一半，或該雙曲角與單位雙曲線之交點的y座標。雙曲正弦一般以sinh表示，在部分較舊的文獻中有時會以${\mathfrak {Sin}}$表示。

定義

雙曲正弦一般計為$\sinh$（有時會簡寫為$\operatorname {sh}$），其在複變分析中定義為:

$\sinh :z\mapsto {\frac {\mathrm {e} ^{z}-\mathrm {e} ^{-z}}{2}}$

其中$z\mapsto \mathrm {e} ^{z}$是複變指數函數。

複數域雙曲正弦的色相環複變函數圖形

也就是說，雙曲正弦等同於指數函數與其倒數之差的一半。雙曲正弦也可以視為自然指數函數的奇函數部分

在雙曲幾何中，雙曲正弦函數類似於歐幾里得幾何中的正弦函數。

性質

一般性質

• 雙曲正弦在實數中是一個連續函數，在複數中是一個全純函數，因此在整個複數域中雙曲正弦處處可微，其導函數為雙曲餘弦函數。
• 雙曲正弦是一個奇函數。
• 在實數域中，雙曲正弦是一個嚴格遞增函數。其中在區間$\left[-\infty ,0\right]$上是凹函數、在區間$\left[0,+\infty \right]$上是凸函數。

三角學性質

根據雙曲正弦與雙曲餘弦的指數定義，可以推得：

$\mathrm {e} ^{z}=\cosh z+\sinh z$

$\mathrm {e} ^{-z}=\cosh z-\sinh z$

其與經典的歐拉公式類似。

當$x\in \mathbb {R}$時，有以下恆等式:

$\sinh(\mathrm {i} x)={\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}-\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x}}{2}}=\mathrm {i} \sin(x)$

$\sinh(x)=-\mathrm {i} \sin(\mathrm {i} x)$

$\sinh(x+y)=\sinh(x)\cosh(y)+\cosh(x)\sinh(y)$

$\sinh x=2\sinh \left({\frac {x}{2}}\right)\cosh \left({\frac {x}{2}}\right)$

$\sinh x=x\prod _{n=1}^{\infty }{\cosh \left(x/2^{n}\right)}$

$\sinh ^{2}\left({\frac {x}{2}}\right)={\frac {\cosh(x)-1}{2}}$

特殊值

雙曲正弦存在一些特殊值：

• $\sinh(0)=0$
• $\sinh(1)={\frac {\mathrm {e} ^{2}-1}{2\mathrm {e} }}$
• $\sinh(\mathrm {i} )=\mathrm {i} \sin(1)$
• $\sinh(\ln \varphi )={\frac {1}{2}}$

其中$\varphi$為黃金比例

參見

• 正弦