Q階乘冪

q階乘冪是階乘冪的Q-模擬^[1]。與階乘冪在廣義超幾何函數中的作用類似，q階乘冪也是定義基本超幾何函數的基礎。

定義

當n為正整數時,q階乘冪定義為

(a;q)_{n}=\prod _{k=0}^{n-1}(1-aq^{k})=(1-a)(1-aq)(1-aq^{2})\cdots (1-aq^{n-1}),

當n為0時,q階乘冪定義為

(a;q)_{0}=1.

與一般的階乘冪不同的是，q階乘冪可以擴展成一個無窮乘積

(a;q)_{\infty }=\prod _{k=0}^{\infty }(1-aq^{k}),

這時它是一個關於q在單位圓盤內的解析函數，也可以考慮為一個關於q的形式冪級數。其中一個特殊情況

\phi (q)=(q;q)_{\infty }=\prod _{k=1}^{\infty }(1-q^{k})

有限q階乘冪可以用無窮q階乘冪表示

(a;q)_{n}={\frac {(a;q)_{\infty }}{(aq^{n};q)_{\infty }}},

這樣就能把q階乘冪擴展到n為負整數的情況：對於非負整數n，有

(a;q)_{-n}={\frac {1}{(aq^{-n};q)_{n}}}=\prod _{k=1}^{n}{\frac {1}{(1-a/q^{k})}}

以及

(a;q)_{-n}={\frac {(-q/a)^{n}q^{n(n-1)/2}}{(q/a;q)_{n}}}.

因為很多關於q階乘冪的等式都含有多個q階乘冪相乘，因此在標準寫法中用一個含有多個變量的q階乘冪來表示這個乘積：

(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{m};q)_{n}=(a_{1};q)_{n}(a_{2};q)_{n}\ldots (a_{m};q)_{n}.

^ Exton, H. (1983), q-Hypergeometric Functions and Applications, New York: Halstead Press, Chichester: Ellis Horwood, 1983, ISBN 0853124914, ISBN 0470274530, ISBN 978-0470274538