q階乘冪階乘冪Q-模擬[1]。與階乘冪在廣義超幾何函數中的作用類似,q階乘冪也是定義基本超幾何函數的基礎。

定義

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n為正整數時

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n為正整數時,q階乘冪定義為
 

n為0時

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n為0時,q階乘冪定義為
 

n為無窮大時

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與一般的階乘冪不同的是,q階乘冪可以擴展成一個無窮乘積
 
這時它是一個關於q在單位圓盤內的解析函數,也可以考慮為一個關於q的形式冪級數。其中一個特殊情況
 
被稱為歐拉函數

n為負數時

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有限q階乘冪可以用無窮q階乘冪表示
 
這樣就能把q階乘冪擴展到n為負整數的情況:對於非負整數n,有
 
以及
 

多變量的寫法

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因為很多關於q階乘冪的等式都含有多個q階乘冪相乘,因此在標準寫法中用一個含有多個變量的q階乘冪來表示這個乘積:

 


圖集

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參考文獻

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  1. ^ Exton, H. (1983), q-Hypergeometric Functions and Applications, New York: Halstead Press, Chichester: Ellis Horwood, 1983, ISBN 0853124914, ISBN 0470274530, ISBN 978-0470274538