主動差

在概率論或者統計學中，主動差（Central Moment，或稱中央矩，其中動差亦被稱作矩）是關於某一個隨機變量平均值構成隨機變量的概率分佈的矩。主動差可以反應概率分佈的特徵，由於高階主動差僅與分佈的分佈和形狀有關，而不與分佈的位置有關，所以相比原動差使用更廣泛。

定義

對於一維隨機變量$X$，其$k$階主動差$\mu _{k}$為相對於$X$之期望值的$k$階矩：

$\mu _{k}=\mathrm {E} [(X-\mathrm {E} [X])^{k}]=\int _{-\infty }^{+\infty }(x-\mu )^{k}f(x)dx$

前幾階主動差具有較直觀的意義。

• 第0階主動差$\mu _{0}$恆為1。
• 第1階主動差$\mu _{1}$恆為0。
• 第2階主動差$\mu _{2}$為$X$的方差$\operatorname {Var} (X)$。
• 第3階主動差$\mu _{3}$用於定義$X$的偏度。
• 第4階主動差$\mu _{4}$用於定義$X$的峰度。

性質

• 主動差具有平移不變性。對於任意的隨機變量$X$和任意常數$c$，恆有：

$\mu _{n}(X+c)=\mu _{n}(X)$

• n階主動差是n次齊次函數。

$\mu _{n}(cX)=c^{n}\mu _{n}(X)$

• 只有當$n\in \{1,2,3\}$，且$X$和$Y$為兩個互相獨立的隨機變量時，主動差才具有加法性。

$\mu _{n}(X+Y)=\mu _{n}(X)+\mu _{n}(Y)$

另一個與主動差類似，但在$n\geq 4$時仍保有加法性的統計量為n階累積量$\kappa _{n}$。