共形場論

共形場論 (conformal field theory, CFT) ，是在共形變換下不變的量子場論。在二維情況下，有一個局部共形變換的無限維代數，共形場論有時可以精確求解或分類。

共形場論在凝聚態物理學、統計力學、量子統計力學以及弦論中有重要應用。統計系統在熱力學臨界點、凝聚態系統在量子臨界點通常是共形不變的（臨界現象）。

標度不變性與共形不變性

儘管標度不變的量子場論有可能不是共形不變的，但這樣的例子極少。因此，在量子場論中這兩個術語常常當作同義詞。事實上標度對稱群比共形對稱群小。

在一些特殊情況下，由標度不變性可以推出共形不變性，例如二維的么正緊緻共形場論。

二維共形場論有兩種：歐幾里得型和洛倫茲型。前者用於統計力學，而後者用於量子場論。可以通過威克轉動把二者聯繫起來。

二維共形場論在無限維對稱群下不變。例如，考慮黎曼球面上的共形場論。其共形群為莫比烏斯變換，同構於有限維的PSL(2,C)。但是，無窮小共形變換組成了一個無限維代數，稱為Witt代數，這無限個共形變換在 $\mathbb {C}$ 上沒有整體的逆。生成元用整數n來標記

$L_{n}={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{z=0}{T_{zz}z^{n+1}dz}$

其中 $T_{zz}$ 是該理論的能量動量張量的無跡部分的全純部分。例如，對自由純量場

$T_{zz}={\frac {1}{2}}(\partial _{z}\phi )^{2}$

大多數共形場論量子化後會出現共形反常，又稱魏爾（Weyl）反常。這導致非平凡中心荷的出現，Witt代數擴展成維拉宿代數。

這個對稱性使我們能夠對二維共形場論進行更加細緻的分類，這在更高維中是做不到的。尤其是，可以把一個理論中的primary operator的譜與中心荷的值c對應起來。

物理態組成的希爾伯特空間是與一個中心荷的值相對應的維拉宿代數的么正模。穩定性要求哈密頓算子的能譜非負。令人感興趣的模是維拉宿代數的最高權重模。

一手徵場是一全純場W(z)，且在維拉宿代數作用下之變換為

L_{n}W(z)=-z^{n+1}{\frac {\partial }{\partial z}}W(z)-(n+1)\Delta z^{n}W(z)

,

{\bar {L}}_{n}W(z)=0.\,

類似地，稍作修改就得到反手征場。 $\Delta$ 稱為手征場W的共形權重。

此外，亞歷山大·澤莫洛德奇科夫（Alexander Zamolodchikov）曾證明存在一函數 C，在二維量子場論的重整化群流作用下單調遞減，且等於一個2維共形場論的中心荷。此定理稱為澤莫羅德奇科夫C定理，告訴我們二維的重整化群流是不可逆的。

很多時候，我們不僅對算子感興趣，也對真空態感興趣。除非c=0，否則不存在狀態能夠保持全部無窮維對稱性。我們能想到的最好的情況是在 $L_{-1},L_{0},L_{1},L_{i}(i>1)$ 下不變。這包含了莫比烏斯子群。共形群的其餘部分是自發破缺的。

二維共形場論在統計力學中發揮了重要作用，能夠描述許多格點模型的臨界點。

維數d>2時，共形群局部同構於 ${\mathcal {SO}}(d+1,1)$ 或 ${\mathcal {SO}}(d,2)$ 。

更高維的共形場論在AdS/CFT對偶中非常重要，即反德西特空間（AdS）中的引力理論等價於AdS邊界上的共形場論。著名的例子有d=4，N=4超對稱楊-米爾斯理論，與AdS₅ × S⁵上的IIB型弦理論對偶；d=3,N=6超陳-西蒙斯理論，與AdS₄ × S⁷上的M理論對偶。（「超」代表超對稱，d是邊界的時空維數）

共形對稱性是在標度變化以及具有以下關係的特殊共形變換下的對稱性

$[P_{\mu },P_{\nu }]=0,$

$[D,K_{\mu }]=-K_{\mu },$

$[D,P_{\mu }]=P_{\mu },$

$[K_{\mu },K_{\nu }]=0,$

$[K_{\mu },P_{\nu }]=\eta _{\mu \nu }D-iM_{\mu \nu }$

其中 $P$ 是平移生成元， $D$ 是標度變換生成元。

Paul Ginsparg. Applied Conformal Field Theory [應用共形場論]. 1988. arXiv:hep-th/9108028  （英語）. .
P. Di Francesco; P. Mathieu; D. Sénéchal. Conformal Field Theory [共形場論]. 紐約: Springer-Verlag. 1997. ISBN 0-387-94785-X （英語）. .
A. B Zamolodchikov. Infinite Conformal Symmetry In Two-Dimensional Quantum Field Theory [2維量子場論的無窮共形對稱性]. 1984: 333–380 （英語）. |journal=被忽略 (幫助).
A. B Zamolodchikov. Irreversibility Of The Flux Of The Renormalization Group In A 2-D Field Theory [2維場論重正化群的通量不可逆性]. 1986: 730–732 [2006-12-08]. （原始內容存檔於2020-01-07）（俄語）. |journal=被忽略 (幫助); |issue=被忽略 (幫助)

Martin Schottenloher. A Mathematical Introduction to Conformal Field Theory [共形場論的數學導引] 2. Berlin; Heidelberg: Springer-Verlag. 2008 [1997]. ISBN 978-3-540-68625-5 （英語）. .
Paul Ginsparg. Applied Conformal Field Theory [應用共形場論]. arXiv:hep-th/9108028  （英語）. .
P. Di Francesco; P. Mathieu; D. Sénéchal. Conformal Field Theory [共形場論]. New York: Springer-Verlag. 1997. ISBN 0-387-94785-X （英語）. .