單參數酉群的斯通定理

在數學中，單參數酉群的斯通定理是泛函分析的一個基本定理，建立了希爾伯特空間 ${\mathcal {H}}$ 上強連續單參數酉群與該空間上的某個自伴算子的一一對應關係。具體來說，單參數酉群是指么正算子構成的單參數族 $(U_{t})_{t\in \mathbb {R} }$ ，且 $t\mapsto U_{t}$ 是一個連續群同態，所謂強連續是指

\forall t_{0}\in \mathbb {R} ,\psi \in {\mathcal {H}}:\qquad \lim _{t\to t_{0}}U_{t}(\psi )=U_{t_{0}}(\psi ).

該定理由Marshall Stone （1930, 1932）證明，而 John von Neumann （1932）表明，至少當希爾伯特空間是可分的， $(U_{t})_{t\in \mathbb {R} }$ 的強連續性可以放寬為弱可測。

這是一個令人印象深刻的結果，因為它允許人們定義映射 $t\mapsto U_{t}$ 的導數，而該映射僅僅需要是連續的。它也與李群和李代數的理論有關。

正式表述

定理^[1] — 設 $(U_{t})_{t\in \mathbb {R} }$ 是一個強連續的單參數酉群。那麼存在一個唯一的（可能是無界的）自伴算子 $A:{\mathcal {D}}_{A}\to {\mathcal {H}}$ 滿足 $\forall t\in \mathbb {R} :\qquad U_{t}=e^{itA}.$ $A$ 的定義域 ${\mathcal {D}}_{A}\subseteq {\mathcal {H}}$ 定義為 ${\mathcal {D}}_{A}=\left\{\psi \in {\mathcal {H}}\left|\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {-i}{\varepsilon }}\left(U_{\varepsilon }(\psi )-\psi \right){\text{ exists}}\right.\right\}.$

反過來，設 $A:{\mathcal {D}}_{A}\to {\mathcal {H}}$ 是一個 ${\mathcal {D}}_{A}\subseteq {\mathcal {H}}$ 上的（可能無界的）自伴算子，並定義單參數的么正算子族 $(U_{t})_{t\in \mathbb {R} }$ 為 $\forall t\in \mathbb {R} ,\quad U_{t}:=e^{itA},$ 則其構成一個強連續的單參數群。

在定理的兩個部分中，表達式 $e^{itA}$ 是通過博雷爾函數演算來定義的，它用到了無界自伴算子的譜定理。

無窮小生成元

上述定理中的算子 $A$ 被稱為 $(U_{t})_{t\in \mathbb {R} }$ 的無窮小生成元。此外， $A$ 有界若且唯若映射 $t\mapsto U_{t}$ 是範數連續的。

強連續酉群 $(U_{t})_{t\in \mathbb {R} }$ 的無窮小生成元 $A$ 可以用下面的式子來計算：

A\psi =-i\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {U_{\varepsilon }\psi -\psi }{\varepsilon }},

其中， $A$ 的定義域為由這些在範數拓撲中存在極限的向量 $\psi$ 組成。也就是說， $A$ 等於 $-i$ 乘以 $U_{t}$ 關於 $t$ 在 $t=0$ 處的導數。該定理的一部分內容就是該導數的存在性——即 $A$ 是一個稠密定義的自伴算子。這個結果即使在有限維情況下也不是顯然的，因為 $U_{t}$ 僅被假設具有（關於時間的）連續性，而不必可微。

例子

平移算子族

\left[T_{t}(\psi )\right](x)=\psi (x+t)

是一個由酉算子構成的單參數酉群；其無窮小生成元是一個空間上的微分算子

-i{\frac {d}{dx}}

的一個擴張（英語：Extensions of symmetric operators），該空間由 $\mathbb {R}$ 上連續可微的緊支撐復值函數構成。因此

T_{t}=e^{t{\frac {d}{dx}}}.

換句話說，直線上的運動是由動量算子生成的。

應用

斯通定理在量子力學中有着廣泛的應用。例如，給定一個孤立的量子力學系統，其狀態的希爾伯特空間為 ${\mathcal {H}}$ ，其時間演化則是 ${\mathcal {H}}$ 上的強連續單參數酉群。這個群的無窮小生成元即是系統的哈密頓算子。

基於傅里葉變換的表述

斯通定理可以用傅里葉變換的語言來重述。實軸 $\mathbb {R}$ 是一個局部緊阿貝爾群。群C*-代數（英語：Group algebra of a locally compact group） $C^{*}(\mathbb {R} )$ 的非退化*-表示與 $\mathbb {R}$ 的強連續么正表示（即強連續的單參數酉群）一一對應。另一方面，傅里葉變換是 $C^{*}(\mathbb {R} )$ 到 $C_{0}(\mathbb {R} )$ 的*-同態，其中 $C_{0}(\mathbb {R} )$ 是實軸上的在無窮遠處消失的連續復值函數所構成的C*-代數。因此，強連續單參數酉群與 $C_{0}(\mathbb {R} )$ 的*-表示之間存在一一對應關係。由於 $C_{0}(\mathbb {R} )$ 的每個*-表示唯一地對應於一個自伴算子，就得到了斯通定理。

因此，獲得強連續單參數酉群的無窮小生成元的過程如下：

設 $(U_{t})_{t\in \mathbb {R} }$ 是 $\mathbb {R}$ 在希爾伯特空間 ${\mathcal {H}}$ 上的強連續么正表示。
積分此酉表示以產生 $C^{*}(\mathbb {R} )$ 在 ${\mathcal {H}}$ 上的非退化*-表示 $\rho$ 。即，先定義 $\forall f\in C_{c}(\mathbb {R} ):\quad \rho (f):=\int _{\mathbb {R} }f(t)U_{t}dt,$ 再將 $\rho$ 連續擴張到整個 $C^{*}(\mathbb {R} )$ 。
使用傅里葉變換獲得 $C_{0}(\mathbb {R} )$ 在 ${\mathcal {H}}$ 上的非退化的 *-表示 $\tau$ 。
根據里斯-馬爾可夫-角谷表示定理， $\tau$ 給出 $\mathbb {R}$ 上的一個投影值測度，而其是唯一的（可能無界的）自伴算子 $A$ 的單位分解。
於是， $A$ 就是 $(U_{t})_{t\in \mathbb {R} }$ 的無窮小生成元。

$C^{*}(\mathbb {R} )$ 的精確定義如下。考慮 $\mathbb {R}$ 上的緊支撐連續復值函數，通過由卷積給出其乘法，其構成一個*-代數 $C_{c}(\mathbb {R} )$ 。這個 *-代數關於L1範數可完備化為一個巴拿赫*-代數，記作 $(L^{1}(\mathbb {R} ),\star )$ 。於是 $C^{*}(\mathbb {R} )$ 就被定義為 $(L^{1}(\mathbb {R} ),\star )$ 的包絡 $C^{*}$ -代數，即 $(L^{1}(\mathbb {R} ),\star )$ 相對於最大的可能的C*-範數的完備化。一個非平凡的事實是，傅里葉變換是 $C^{*}(\mathbb {R} )$ 與 $C_{0}(\mathbb {R} )$ 間的一個同構。這個方向的一個結果是黎曼-勒貝格引理，它指出傅里葉變換將 $L^{1}(\mathbb {R} )$ 映射到 $C_{0}(\mathbb {R} )$ 。