單參數酉群的斯通定理

數學中,單參數酉群的斯通定理泛函分析的一個基本定理,建立了希爾伯特空間 強連續單參數酉群與該空間上的某個自伴算子的一一對應關係。具體來說,單參數酉群是指么正算子構成的單參數族 ,且 是一個連續群同態,所謂強連續是指

該定理由Marshall Stone (1930, 1932證明,而 John von Neumann (1932 表明,至少當希爾伯特空間是可分的, 的強連續性可以放寬為弱可測

這是一個令人印象深刻的結果,因為它允許人們定義映射 的導數,而該映射僅僅需要是連續的。它也與李群李代數的理論有關。

正式表述

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定理[1] —   是一個強連續的單參數酉群。那麼存在一個唯一的(可能是無界的)自伴算子   滿足     的定義域   定義為  

反過來,設   是一個   上的(可能無界的)自伴算子,並定義單參數的么正算子族    則其構成一個強連續的單參數群。

在定理的兩個部分中,表達式   是通過博雷爾函數演算來定義的,它用到了無界自伴算子譜定理

無窮小生成元

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上述定理中的算子   被稱為  無窮小生成元。此外,   有界若且唯若映射  範數連續的。

強連續酉群   的無窮小生成元   可以用下面的式子來計算:

 

其中,   的定義域為由這些在範數拓撲中存在極限的向量   組成。也就是說,   等於   乘以   關於    處的導數。該定理的一部分內容就是該導數的存在性——即   是一個稠密定義的自伴算子。這個結果即使在有限維情況下也不是顯然的,因為   僅被假設具有(關於時間的)連續性,而不必可微。

例子

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平移算子族

 

是一個由酉算子構成的單參數酉群;其無窮小生成元是一個空間上的微分算子

 

的一個擴張英語Extensions of symmetric operators,該空間由   上連續可微的緊支撐復值函數構成。因此

 

換句話說,直線上的運動是由動量算子生成的。

應用

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斯通定理在量子力學中有着廣泛的應用。例如,給定一個孤立的量子力學系統,其狀態的希爾伯特空間為   ,其時間演化則是   上的強連續單參數酉群。這個群的無窮小生成元即是系統的哈密頓算子

基於傅里葉變換的表述

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斯通定理可以用傅里葉變換的語言來重述。實軸   是一個局部緊阿貝爾群群C*-代數英語Group algebra of a locally compact group   的非退化*-表示  的強連續么正表示(即強連續的單參數酉群)一一對應。另一方面,傅里葉變換是   *-同態,其中   是實軸上的在無窮遠處消失的連續復值函數所構成的C*-代數。因此,強連續單參數酉群與   的*-表示之間存在一一對應關係。由於   的每個*-表示唯一地對應於一個自伴算子,就得到了斯通定理。

因此,獲得強連續單參數酉群的無窮小生成元的過程如下:

  •   希爾伯特空間   上的強連續么正表示。
  • 積分此酉表示以產生    上的非退化*-表示   。即,先定義 再將   連續擴張到整個  
  • 使用傅里葉變換獲得    上的非退化的 *-表示  
  • 根據里斯-馬爾可夫-角谷表示定理  給出   上的一個投影值測度,而其是唯一的(可能無界的)自伴算子  單位分解
  • 於是,   就是   的無窮小生成元。

  的精確定義如下。考慮   上的緊支撐連續復值函數,通過由卷積給出其乘法,其構成一個*-代數   。這個 *-代數關於L1範數完備化為一個巴拿赫*-代數,記作   。於是   就被定義為  包絡  -代數 ,即   相對於最大的可能的C*-範數的完備化。一個非平凡的事實是,傅里葉變換是    間的一個同構。這個方向的一個結果是黎曼-勒貝格引理,它指出傅里葉變換將   映射到  

推廣

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斯通-馮諾伊曼定理將斯通定理推廣到滿足正則對易關係的一自伴算子   上,並證明它們都與   上的位置算符動量算符么正等價。

希爾-吉田定理英語Hille–Yosida theorem將斯通定理推廣到巴拿赫空間上的強連續單參數壓縮半群。

引注

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  1. ^ Hall 2013 Theorem 10.15

參考書目

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