雙曲函數

與三角函數類似的函數

數學中,雙曲函數是一類與常見的三角函數(也叫圓函數)類似的函數。最基本的雙曲函數是雙曲正弦函數雙曲餘弦函數,從它們可以導出雙曲正切函數等,其推導也類似於三角函數的推導。雙曲函數的反函數稱為反雙曲函數

射線出原點交單位雙曲線於點,這裏的是射線、雙曲線和x軸圍成的面積的二倍。對於雙曲線上位於x軸下方的點,這個面積被認為是負值
雙曲函數示意圖
幾個雙曲函數的圖形。

雙曲函數的定義域是實數,其自變量的值叫做雙曲角。雙曲函數出現於某些重要的線性微分方程的解中,譬如說定義懸鏈線拉普拉斯方程

基本定義

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sinhcoshtanh
 
cschsechcoth

最簡單的幾種雙曲函數為[1]

  • 雙曲正弦
     
  • 雙曲餘弦
     
  • 雙曲正切:
     
  • 雙曲餘切:當 
     
  • 雙曲正割:
     
  • 雙曲餘割:當 
     

函數 是關於y軸對稱的偶函數。函數 奇函數

如同當 遍歷實數集 時,點( ,  )的軌跡是一個 一樣,當 遍歷實數集 時,點( ,  )的軌跡是單位雙曲線英語Unit hyperbola 的右半邊。這是因為有以下的恆等式:

 

參數t不是圓而是雙曲角,它表示在x軸和連接原點和雙曲線上的點( ,  )的直線之間的面積的兩倍。

歷史

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直角雙曲線(方程 )下,雙曲線三角形(黃色),和對應於雙曲角u雙曲線扇形(紅色)。這個三角形的邊分別是雙曲函數   倍。

在18世紀,約翰·海因里希·蘭伯特引入雙曲函數[2],並計算了雙曲幾何雙曲三角形的面積[3]自然對數函數是在直角雙曲線 下定義的,可構造雙曲線直角三角形,底邊在線 上,一個頂點是原點,另一個頂點在雙曲線。這裏以自然對數即雙曲角作為參數的函數,是自然對數的逆函數指數函數,即要形成指定雙曲角 ,在漸近線即x或y軸上需要有的  的值。顯見這裏的底邊是 ,垂線是 

通過旋轉和縮小線性變換,得到單位雙曲線下的情況,有:

  •  
  •  

單位雙曲線中雙曲線扇形的面積是對應直角雙曲線 下雙曲角的 

虛數圓角定義

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雙曲角經常定義得如同虛數圓角。實際上,如果 是實數而 ,則

   

所以雙曲函數  可以通過圓函數來定義。這些恆等式不是從圓或旋轉得來的,它們應當以無窮級數的方式來理解。特別是,可以將指數函數表達為由偶次項和奇次項組成,前者形成 函數,後者形成了 函數。 函數的無窮級數可從 得出,通過把它變為交錯級數,而 函數可來自將 變為交錯級數。上面的恆等式使用虛數 ,從三角函數的級數的項中去掉交錯因子 ,來恢復為指數函數的那兩部份級數。

 
 

雙曲函數可以通過虛數圓角定義為:

  • 雙曲正弦[1]
     
  • 雙曲餘弦[1]
     
  • 雙曲正切:
     
  • 雙曲餘切:
     
  • 雙曲正割:
     
  • 雙曲餘割:
     

這些複數形式的定義得出自歐拉公式

與三角函數的類比

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奧古斯都·德·摩根在其1849年出版的教科書《Trigonometry and Double Algebra》中將圓三角學擴展到了雙曲線[4]威廉·金頓·克利福德在1878年使用雙曲角來參數化單位雙曲線

   

給定相同的角α,在雙曲線上計算雙曲角的量值(雙曲扇形面積除以半徑)得到雙曲函數,角 得到三角函數。在單位圓單位雙曲線上,雙曲函數與三角函數有如下的關係:

恆等式

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與雙曲函數有關的恆等式如下:

 
  • 加法公式:
 
 
 
  • 二倍角公式:
 
 
 
  • 和差化積:

 

  • 半角公式:
 
 
 
其中 sgn符號函數
x ≠ 0,則:
 

由於雙曲函數和三角函數之間的對應關係,雙曲函數的恆等式和三角函數的恆等式之間也是一一對應的。對於一個已知的三角函數公式,只需要將其中的三角函數轉成相應的雙曲函數,並將含有有兩個 的積的項(包括 )轉換正負號,就可得到相應的雙曲函數恆等式[5]。如

  • 三倍角公式:
三角函數的三倍角公式為:
 
 
而對應的雙曲函數三倍角公式則是:
 
 
  • 差角公式:
 

雙曲函數的導數

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雙曲函數的泰勒展開式

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雙曲函數也可以以泰勒級數展開:

 
 
 
 羅朗級數
 
 羅朗級數

其中

 是第 伯努利數
 是第 歐拉數

無限積與連續分數形式

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下列的擴展在整個複數平面上成立:

 
 
 

雙曲函數的積分

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與指數函數的關係

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從雙曲正弦和餘弦的定義,可以得出如下恆等式:

 

 

複數的雙曲函數

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因為指數函數可以定義為任何複數參數,也可以擴展雙曲函數的定義為複數參數。函數  全純函數

指數函數與三角函數的關係由歐拉公式給出:

 

所以:

 
 
 

因此,雙曲函數是關於虛部有週期的,週期為 (對雙曲正切和餘切是 )。

反雙曲函數

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反雙曲函數是雙曲函數的反函數。它們的定義為:

 

參考文獻

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  1. ^ 1.0 1.1 1.2 Weisstein, Eric W. (編). Hyperbolic Functions. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2020-08-29]. (原始內容存檔於2022-05-21) (英語). 
  2. ^ Eves, Howard, Foundations and Fundamental Concepts of Mathematics, Courier Dover Publications: 59, 2012, ISBN 9780486132204, We also owe to Lambert the first systematic development of the theory of hyperbolic functions and, indeed, our present notation for these functions. 
  3. ^ Ratcliffe, John, Foundations of Hyperbolic Manifolds, Graduate Texts in Mathematics 149, Springer: 99, 2006 [2014-03-27], ISBN 9780387331973, (原始內容存檔於2014-01-12), That the area of a hyperbolic triangle is proportional to its angle defect first appeared in Lambert's monograph Theorie der Parallellinien, which was published posthumously in 1786. 
  4. ^ Augustus De Morgan (1849) Trigonometry and Double Algebra頁面存檔備份,存於互聯網檔案館), Chapter VI: "On the connection of common and hyperbolic trigonometry"
  5. ^ G. Osborn, Mnemonic for hyperbolic formulae[失效連結], The Mathematical Gazette, p. 189, volume 2, issue 34, July 1902

參見

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