複合泊松分布

在概率論中，複合泊松分佈（英語：compound Poisson distribution）是指一些獨立同分佈的隨機變量的和的概率分佈，而這些隨機變量的個數服從泊松分佈。在最簡單的情形下，複合泊松分佈可以是連續分佈或者離散分佈。

定義

假設

N\sim \operatorname {Poisson} (\lambda ),

也就是說，N是一個隨機變量，其分佈為期望值為λ的泊松分佈，且

X_{1},X_{2},X_{3},\dots

為同分佈的隨機變量，他們相互獨立，且與N也獨立。則在變量個數（ $N$ ）給定的條件下，這 $N$ 個獨立同分佈的隨機變量和的概率分佈：

Y|N=\sum _{n=1}^{N}X_{n}

是一個良定的分佈。N = 0時，Y也為0，此時Y | N=0有退化的分佈。

複合泊松分佈可以通過將(Y,N)的聯合分佈在N上邊緣化而得到，而聯合分佈可以通過結合條件分佈Y | N和N的邊際分佈而得到。

複合泊松分佈的均值和方差可以簡單地從全期望值公式和全方差公式推導出來。即

\operatorname {E} _{Y}(Y)=\operatorname {E} _{N}\left[\operatorname {E} _{Y|N}(Y)\right]=\operatorname {E} _{N}\left[N\operatorname {E} _{X}(X)\right]=\operatorname {E} _{N}(N)\operatorname {E} _{X}(X),

\operatorname {Var} _{Y}(Y)=E_{N}\left[\operatorname {Var} _{Y|N}(Y)\right]+\operatorname {Var} _{N}\left[E_{Y|N}(Y)\right]=\operatorname {E} _{N}\left[N\operatorname {Var} _{X}(X)\right]+\operatorname {Var} _{N}\left[N\operatorname {E} _{X}(X)\right]),

則

\operatorname {Var} _{Y}(Y)=\operatorname {E} _{N}(N)\operatorname {Var} _{X}(X)+\left(\operatorname {E} _{X}(X)\right)^{2}\operatorname {Var} _{N}(N).

因為N是泊松的，則有E(N)=Var(N)，再略去一些不必要的下標，上述公式可化簡為

\operatorname {E} (Y)=\operatorname {E} (N)\operatorname {E} (X),

\operatorname {Var} (Y)=E(N)(\operatorname {Var} (X)+{E(X)}^{2})=E(N){E(X^{2})}.

Y的概率分佈可以由其特徵函數決定：

\varphi _{Y}(t)=\operatorname {E} \left(e^{itY}\right)=\operatorname {E} _{N}\left(\left(\operatorname {E} \left(e^{itX}\right)\right)^{N}\right)=\operatorname {E} _{N}\left(\left(\varphi _{X}(t)\right)^{N}\right),\,

因此，使用泊松分佈的概率生成函數，

\varphi _{Y}(t)={\textrm {e}}^{\lambda (\varphi _{X}(t)-1)}.\,

一個速率為 $\lambda >0$ ，增量分佈為G的複合泊松過程是一個連續時間隨機過程 $\{\,Y(t):t\geq 0\,\}$ ，定義如下

Y(t)=\sum _{i=0}^{N(t)}D_{i}

其中， $\{\,N(t):t\geq 0\,\}$ 是一個速率為 $\lambda$ 的泊松過程， $\{\,D_{i}:i\geq 0\,\}$ 是獨立同分佈的隨機變量，其分佈為G，與 $\{\,N(t):t\geq 0\,\}$ 獨立。

複合泊松分佈廣泛用於精算學和保險業，用來對總索賠額 $Y$ 進行建模， $Y$ 是隨機的 $N$ 個獨立同分佈的索賠額X₁, X₂, ... , X_N的和。