完備化 (環論)

在交換代數中，可以探討一個交換環 $R$ 本身，或一個 $R$-模對一理想 $I\subset R$ 的完備性。由於完備環有較容易處理的性質，完備化是研究交換環的基本工具。

幾何上，交換環的完備化對應到一個閉子概形的形式鄰域。

I-進拓撲

對於一個交換環 $R$ 及其理想 $I$（通常取為極大理想），可以藉着取 $I^{n}\;(n\in \mathbb {N} )$ 為零元素的開鄰域，賦予 $R$ 相應的拓撲結構，使之成為對加法的拓撲群。這種拓撲稱為 $I$-進拓撲。

對於一個 $R$-模 $M$，同樣可考慮零元素的開鄰域 $I^{n}M$，由此得到 $M$ 上的 $I$-進拓撲。

完備化及其性質

模 $M$ 對 $I\subset R$ 的完備化定義為射影極限：

${\hat {M}}:=\varprojlim _{n}M/I^{n}M$

正如其名，${\hat {M}}$ 對其 $I$-進拓撲是完備的。對於固定的 $I\subset R$，$M\mapsto {\hat {M}}$ 是從 $R$-模範疇（態射為模同態）到 $I$-進拓撲 $R$-模（態射為連續同態）的函子；透過自然同態 $M\to {\hat {M}}$，它是與之反向的遺忘函子的左伴隨函子，因而是右正合的。

對於諾特環，${\hat {R}}$ 是平坦的 $R$-模。此時，對任何有限生成 $R$-模 $M$，自然態射 ${\hat {M}}\to M\otimes _{R}{\hat {R}}$ 是個同構。綜上所述，對於諾特環 $R$上的有限生成 $R$-模，完備化是個正合函子。

此外，完備化也可以用柯西序列構造，得到的對象是自然同構的。

例子

• p進整數是 $\mathbb {Z}$ 對 $p\mathbb {Z}$ 的完備化。
• 形式冪級數環 $k[[X_{1},\ldots ,X_{n}]]$ 是多項式環 $k[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ 對 $(X_{1},\ldots ,X_{n})$ 的完備化。

文獻

• David Eisenbud, Commutative algebra. With a view toward algebraic geometry. Graduate Texts in Mathematics, 150. Springer-Verlag, New York, 1995. xvi+785 pp. ISBN 0-387-94268-8; ISBN 0-387-94269-6