滿足下列條件的鞅 我們稱之為布朗運動
這個鞅是關於時間連續的。
他的平方減去時間項也是一個鞅。
(
M
t
)
{\displaystyle (M_{t})}
是一個布朗運動若且唯若
(
M
t
)
{\displaystyle (M_{t})}
為鞅,且
(
M
t
2
−
t
)
{\displaystyle (M_{t}^{2}-t)}
也為鞅.
3000步的2維布朗運動的模擬。
1000步的3維布朗運動模擬。
一維的定義
一維布朗運動
(
B
t
)
t
≥
0
{\displaystyle \scriptstyle (B_{t})_{t\geq 0}}
是關於時間t 的一個隨機過程,他滿足 :
(獨立增量)設時間t 和s 滿足t > s ,增量
B
t
−
B
s
{\displaystyle \scriptstyle B_{t}-B_{s}}
獨立於時間s 前的過程
(
B
u
)
0
≤
u
≤
s
{\displaystyle \scriptstyle (B_{u})_{0\leq u\leq s}}
。
(穩定增量和正態性)設時間t 和s 滿足t > s ,增量
B
t
−
B
s
{\displaystyle \scriptstyle B_{t}-B_{s}}
服從均值為0方差為t −s 的正態分佈。
(
B
t
)
t
≥
0
{\displaystyle \scriptstyle (B_{t})_{t\geq 0}}
幾乎處處連續, 也就是說在任何可能性下, 函數
t
↦
B
t
(
ω
)
{\displaystyle \scriptstyle t\mapsto B_{t}(\omega )}
是連續的.
通常假設
B
0
=
0
{\displaystyle \scriptstyle B_{0}=0}
。這種布朗運動我們稱它為標準的。
等價定義
一維布朗運動
(
B
t
)
t
≥
0
{\displaystyle \scriptstyle (B_{t})_{t\geq 0}}
是關於時間t 的一個隨機過程,他滿足 :
(
B
t
)
t
≥
0
{\displaystyle \scriptstyle (B_{t})_{t\geq 0}}
是一個高斯過程 ,也就是說對於所有的時間列:
t
1
≤
t
2
≤
.
.
.
≤
t
n
{\displaystyle \scriptstyle t_{1}\leq t_{2}\leq ...\leq t_{n}}
,隨機向量:
(
B
t
1
,
B
t
2
,
.
.
.
,
B
t
n
)
{\displaystyle \scriptstyle (B_{t_{1}},B_{t_{2}},...,B_{t_{n}})}
服從高維高斯分佈(正態分佈)。
(
B
t
)
t
≥
0
{\displaystyle \scriptstyle (B_{t})_{t\geq 0}}
幾乎處處連續。
對於所有s 和t ,均值
E
[
B
t
]
=
0
{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {E} [B_{t}]=0}
,協方差
E
[
B
s
B
t
]
=
m
i
n
(
s
,
t
)
{\displaystyle \scriptstyle E[B_{s}B_{t}]=min(s,t)}
.
高維定義
(
B
t
)
t
≥
0
:=
(
B
t
1
,
B
t
2
,
.
.
.
,
B
t
d
)
t
≥
0
{\displaystyle \scriptstyle (B_{t})_{t\geq 0}:=\left(B_{t}^{1},B_{t}^{2},...,B_{t}^{d}\right)_{t\geq 0}}
是d 維布朗運動,只需滿足
B
1
,
B
2
,
.
.
.
,
B
d
{\displaystyle \scriptstyle B^{1},B^{2},...,B^{d}}
為獨立的布朗運動。
換句話說,d 維布朗運動 取值於
R
d
{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{d}}
,而它在
R
,
R
2
,
.
.
.
,
R
d
−
1
{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ,\mathbb {R} ^{2},...,\mathbb {R} ^{d-1}}
空間上的投影均為布朗運動。
Wiener測度的定義
設
C
(
R
+
,
R
)
{\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {C}}(\mathbb {R} ^{+},\mathbb {R} )}
為從
R
+
{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{+}}
到
R
{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} }
的連續函數空間,
(
Ω
,
T
,
P
)
{\displaystyle \scriptstyle (\Omega ,{\mathcal {T}},\mathbb {P} )}
為機率空間。布朗運動為映射
B
:
Ω
⟶
C
(
R
+
,
R
)
{\displaystyle B:\Omega \longrightarrow C(\mathbb {R} ^{+},\mathbb {R} )}
ω
↦
(
t
↦
B
t
(
ω
)
)
{\displaystyle \omega \mapsto \left(t\mapsto B_{t}(\omega )\right)}
.
Wiener測度 (或稱為布朗運動的分佈)設為
W
(
d
ω
)
{\displaystyle \scriptstyle W(d\omega )}
,是映射B 關於
P
(
d
ω
)
{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {P} (d\omega )}
的圖測度。
換句話說, W 是
C
(
R
+
,
R
)
{\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {C}}(\mathbb {R} ^{+},\mathbb {R} )}
上的一個機率測度,滿足對於任何
A
⊂
C
(
R
+
,
R
)
{\displaystyle \scriptstyle A\subset {\mathcal {C}}(\mathbb {R} ^{+},\mathbb {R} )}
,有
W
(
A
)
=
P
(
(
B
t
)
t
≥
0
∈
A
)
{\displaystyle W(A)=\mathbb {P} ((B_{t})_{t\geq 0}\in A)}
。
備忘
布朗運動是一種增量服從正態分佈的萊維過程 。
這個定義可以幫助我們證明布朗運動的很多特性,比如幾乎處處連續,軌跡幾乎處處不可微等等。
我們可以利用二次變差的期望為時間來等價定義布朗運動。這個定義由Levy定理演化而來, 即: 軌跡連續且二次變差為
t
{\displaystyle t}
的隨機過程為布朗運動。
布朗運動的軌道幾乎處處不可微:對於任何
ω
∈
Ω
{\displaystyle \scriptstyle \omega \in \Omega }
,軌道
t
↦
B
t
(
ω
)
{\displaystyle \scriptstyle t\mapsto B_{t}(\omega )}
為一個連續但是零可微的函數。
協方差
E
[
B
s
B
t
]
=
m
i
n
(
s
,
t
)
{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {E} [B_{s}B_{t}]=min(s,t)}
。
布朗運動具有強馬氏性 : 對於停時 T ,取條件
[
T
<
∞
]
{\displaystyle \scriptstyle [T<\infty ]}
,過程
(
B
t
T
)
t
≥
0
:=
(
B
T
+
t
−
B
T
)
t
≥
0
{\displaystyle \scriptstyle (B_{t}^{T})_{t\geq 0}:=(B_{T+t}-B_{T})_{t\geq 0}}
為一個獨立於
(
B
s
)
0
≤
s
<
T
{\displaystyle \scriptstyle (B_{s})_{0\leq s<T}}
的布朗運動。
它的Fourier變換 或特徵函數 為
E
[
e
i
u
B
t
]
=
e
−
t
u
2
2
{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {E} \left[e^{iuB_{t}}\right]=e^{-{\frac {tu^{2}}{2}}}}
。可見,布朗運動是一個無偏,無跳躍,二項係數為1/2的Levy過程。
布朗運動關於時間是齊次的: 對於s > 0,
(
B
t
+
s
−
B
s
)
t
≥
0
{\displaystyle \scriptstyle (B_{t+s}-B_{s})_{t\geq 0}}
是一個獨立於
(
B
u
)
0
≤
u
≤
s
{\displaystyle \scriptstyle (B_{u})_{0\leq u\leq s}}
的布朗運動。
-B 是一個布朗運動。
(穩定性) 對於c > 0,
(
c
B
t
c
2
)
t
≥
0
{\displaystyle \scriptstyle \left(cB_{\frac {t}{c^{2}}}\right)_{t\geq 0}}
是布朗運動。
(時間可逆性)
(
t
B
1
t
)
t
>
0
{\displaystyle \scriptstyle \left(tB_{\frac {1}{t}}\right)_{t>0}}
在t =0之外是布朗運動。
(常返性 )只有1維和2維布朗運動是常返的:
如果
d
∈
{
1
,
2
}
{\displaystyle \scriptstyle d\in \{1,2\}}
,集合
{
t
≥
0
,
B
t
=
x
}
{\displaystyle \scriptstyle \{t\geq 0,B_{t}=x\}}
不是有界的,對於任何
x
∈
R
d
{\displaystyle \scriptstyle x\in \mathbb {R} ^{d}}
,
如果
d
≥
3
,
lim
t
→
∞
|
|
B
t
|
|
=
+
∞
{\displaystyle \scriptstyle d\geq 3,\,\,\,\lim _{t\rightarrow \infty }||B_{t}||=+\infty }
(幾乎處處)。
P
[
sup
0
≤
s
≤
t
B
s
≥
a
]
=
2
P
[
B
t
≥
a
]
=
P
[
|
B
t
|
≥
a
]
.
{\displaystyle \mathbb {P} [\sup _{0\leq s\leq t}B_{s}\geq a]=2\mathbb {P} [B_{t}\geq a]=\mathbb {P} [|B_{t}|\geq a].}
設
(
f
t
)
t
∈
R
+
{\displaystyle (f_{t})_{t\in {\mathbb {R} }_{+}}}
為
L
2
(
R
+
)
{\displaystyle L^{2}({\mathbb {R} }_{+})}
空間中一列實值函數。設:
∀
(
u
,
v
)
∈
R
+
,
s
(
u
,
v
)
=
⟨
f
u
,
f
v
⟩
L
2
(
R
+
)
=
∫
R
+
f
u
(
x
)
f
v
(
x
)
d
x
{\displaystyle \forall (u,v)\in {\mathbb {R} }_{+}{\text{, }}s(u,v)={\langle f_{u},f_{v}\rangle }_{L^{2}({\mathbb {R} }_{+})}=\int _{\mathbb {R} _{+}}f_{u}(x)f_{v}(x)dx}
這列函數滿足:
∀
k
∈
N
∗
{\displaystyle \forall k\in \mathbb {N} ^{*}}
,任意的
t
1
,
.
.
.
,
t
k
∈
R
+
{\displaystyle t_{1},...,t_{k}\in \mathbb {R} _{+}}
,矩陣
(
s
(
t
i
,
t
j
)
)
1
≤
i
,
j
≤
k
{\displaystyle \left(s(t_{i},t_{j})\right)_{1\leq i,j\leq k}}
為對稱半正定的。
利用Kolmogorov一致性定理,我們可以構造高斯過程
{
Y
t
}
t
∈
R
+
{\displaystyle \{Y_{t}\}_{t\in \mathbb {R} _{+}}}
,它的均值
m
{\displaystyle m}
任意, 協方差為上面定義的
s
{\displaystyle s}
。
當
(
f
t
)
t
∈
R
+
=
(
c
.1
1
[
0
,
t
]
)
t
∈
R
+
{\displaystyle (f_{t})_{t\in {\mathbb {R} }_{+}}=\left({\sqrt {c}}.1\!\!1_{[0,t]}\right)_{t\in \mathbb {R} _{+}}}
,
c
>
0
{\displaystyle c>0}
為不依賴於t的常數,
1
1
[
0
,
t
]
{\displaystyle 1\!\!1_{[0,t]}}
為
[
0
,
t
]
{\displaystyle [0,t]}
上的示性函數。則:
s
(
u
,
v
)
=
c
∫
R
1
1
[
0
,
u
]
(
s
)
1
1
[
0
,
v
]
(
s
)
d
s
=
c.min
(
u
,
v
)
{\displaystyle s(u,v)=c\int \limits _{\mathbb {R} }1\!\!1_{[0,u]}(s)1\!\!1_{[0,v]}(s)ds={\text{c.min}}(u,v)}
在這個情況下,矩陣
(
s
(
t
i
,
t
j
)
)
1
≤
i
,
j
≤
k
{\displaystyle \left(s(t_{i},t_{j})\right)_{1\leq i,j\leq k}}
是對稱且正定的。
我們稱一個高斯過程為 布朗運動 若且唯若均值為0,協方差為s。
c
=
V
a
r
(
B
1
)
{\displaystyle c=Var(B_{1})}
,當
c
=
1
{\displaystyle c=1}
時, 稱之為 標準的布朗運動 .
Donsker定理 (1951)證明了逐漸歸一化的隨機遊走弱收斂於布朗運動。
(
1
σ
n
(
∑
k
=
1
[
n
t
]
U
k
+
(
n
t
−
[
n
t
]
)
U
[
n
t
]
+
1
)
)
0
≤
t
≤
1
⟹
n
→
∞
(
B
t
)
0
≤
t
≤
1
{\displaystyle \left({\frac {1}{\sigma {\sqrt {n}}}}\left(\sum _{k=1}^{[nt]}U_{k}+(nt-[nt])U_{[nt]+1}\right)\right)_{0\leq t\leq 1}{\underset {n\rightarrow \infty }{\Longrightarrow }}(B_{t})_{0\leq t\leq 1}}
其中(U n , n ≥ 1) 獨立同分佈, 均值為0,方差為σ 的隨機變量序列。
設2列獨立的正態
N
(
0
,
1
)
{\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {N}}(0,1)}
隨機變量序列
(
N
k
,
k
∈
N
)
{\displaystyle \scriptstyle (N_{k},k\in \mathbb {N} )}
和
(
N
k
′
,
k
∈
N
)
{\displaystyle \scriptstyle (N'_{k},k\in \mathbb {N} )}
。定義
(
B
t
)
t
≥
0
{\displaystyle \scriptstyle (B_{t})_{t\geq 0}}
:
B
t
:=
t
N
0
+
∑
k
=
1
+
∞
2
2
π
k
(
N
k
cos
(
2
π
k
t
−
1
)
+
N
k
′
sin
(
2
π
k
t
)
)
{\displaystyle B_{t}:=tN_{0}+\sum _{k=1}^{+\infty }{\frac {\sqrt {2}}{2\pi k}}\left(N_{k}\cos(2\pi kt-1)+N_{k}'\sin(2\pi kt)\right)}
為布朗運動。