布朗运动

此条目介绍的是布朗运动。关于随机的过程，请见“维纳过程”。关于热力学的角度的定义，请见“热力学温度”。关于内部能量，请见“能量均分定理”。关于数学模型，请见“随机游走”。

布朗运动（英语：Brownian motion）是微小粒子或者颗粒在流体中做的无规则运动。布朗运动过程是一种常态分布的独立增量连续随机过程。它是随机分析中基本概念之一。其基本性质为：布朗运动W(t)是期望为0、方差为t（时间）的正态随机变量。对于任意的r小于等于s，W(t)-W(s)独立于的W(r)，且是期望为0、方差为t-s的正态随机变量。可以证明布朗运动是马尔可夫过程、鞅过程和伊藤过程。

模拟的大颗粒尘埃粒子碰撞到更小的粒子，而其以不同的速度在不同方向移动的布朗运动。

粒子的立体空间进行布朗运动的示意图。

它是在公元1827年英国植物学家罗伯特·布朗利用一般的显微镜观察悬浮于水中由花粉所迸裂出之微粒时，发现微粒会呈现不规则状的运动，因而称它布朗运动。布朗运动也能测量原子的大小，因为就是由水中的水分子对微粒的碰撞产生的，而不规则的碰撞越明显，就是原子愈小，因此根据布朗运动，定义原子的直径为10^-8厘米。

定义

自1860年以来，许多科学家都在研究此种现象，后来发现布朗运动有下列的主要特性：

1. 粒子的运动由平移及转移所构成，显得非常没规则而且其轨迹几乎是处处没有切线。
2. 粒子之移动显然互不相关，甚至于当粒子互相接近至比其直径小的距离时也是如此。
3. 粒子越小或液体粘性越低或温度越高时，粒子的运动越活泼。
4. 粒子的成分及密度对其运动没有影响。
5. 粒子的运动永不停止。

爱因斯坦的理论

在1905年，爱因斯坦提出了相关理论。他的理论有两个部分：第一部分定义布朗粒子扩散方程，其中的扩散系数与布朗粒子平均平方位移相关，而第二部分连结扩散系数与可测量的物理量。以此方式，爱因斯坦的理论可决定原子的大小，一摩尔有多少原子，或气体的克分子量。根据阿伏伽德罗定律，所有理想气体在标准温度和压力下体积为22.414升，其中包含的原子的数目被称为“阿伏伽德罗常数”。由气体的摩尔质量除以阿伏伽德罗常数等同原子量。

爱因斯坦论证的第一部分是，确定布朗粒子在一定的时间内运动的距离。 经典力学无法确定这个距离，因为布朗粒子将会受到大量的撞击，每秒大约发生 10¹⁴ 次撞击。 因此，爱因斯坦将之简化，即讨论一个布朗粒子团的运动。

他把粒子在一个的空间中，把布朗粒子在一维方向上的运动增量 (x) 视作一个随机值（$\Delta$ 或者 x，并对其坐标进行变换，让原点成为粒子运动的初始位置）并给出概率密度函数 $\varphi (\Delta )$。另外，他假设粒子的数量有限，并扩大了密度（单位体积内粒子数量)，展开成泰勒级数 。

${\begin{aligned}\rho (x,t)+\tau {\frac {\partial \rho (x)}{\partial t}}+\cdots =\rho (x,t+\tau )={}&\int _{-\infty }^{+\infty }\rho (x+\Delta ,t)\cdot \varphi (\Delta )\,\mathrm {d} \Delta \\={}&\rho (x,t)\cdot \int _{-\infty }^{+\infty }\varphi (\Delta )\,d\Delta +{\frac {\partial \rho }{\partial x}}\cdot \int _{-\infty }^{+\infty }\Delta \cdot \varphi (\Delta )\,\mathrm {d} \Delta \\&{}+{\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial x^{2}}}\cdot \int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\Delta ^{2}}{2}}\cdot \varphi (\Delta )\,\mathrm {d} \Delta +\cdots \\={}&\rho (x,t)\cdot 1+0+{\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial x^{2}}}\cdot \int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\Delta ^{2}}{2}}\cdot \varphi (\Delta )\,\mathrm {d} \Delta +\cdots \end{aligned}}$

第一行中的第二个等式是被 $\varphi$ 这个函数定义的。第一项中的积分等于一个由概率定义函数，第二项和其他偶数项（即第一项和其他奇数项）由于空间对称性而消失。化简可以得到以下关系关系：

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}={\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial x^{2}}}\cdot \int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\Delta ^{2}}{2\,\tau }}\cdot \varphi (\Delta )\,\mathrm {d} \Delta +{\text{(更 高 阶 的 项 )}}$

拉普拉斯算子之前的系数，是下一刻的随机位移量 $\Delta$，让 D 为质量扩散系数：

$D=\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\Delta ^{2}}{2\,\tau }}\cdot \varphi (\Delta )\,\mathrm {d} \Delta$

那么在 t 时刻 x 处的布朗粒子密度 ρ 满足扩散方程：

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}=D\cdot {\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial x^{2}}},$

假设在初始时刻t = 0时，所有的粒子从原点开始运动，扩散方程的解

$\rho (x,t)={\frac {\rho _{0}}{\sqrt {4\pi Dt}}}e^{-{\frac {x^{2}}{4Dt}}}.$

数学模型

定义

满足下列条件的鞅我们称之为布朗运动

1. 这个鞅是关于时间连续的。
2. 他的平方减去时间项也是一个鞅。

$(M_{t})$是一个布朗运动当且仅当$(M_{t})$为鞅，且$(M_{t}^{2}-t)$也为鞅.

其他定义

3000步的2维布朗运动的模拟。

1000步的3维布朗运动模拟。

一维的定义

一维布朗运动$\scriptstyle (B_{t})_{t\geq 0}$是关于时间t的一个随机过程，他满足 ：

1. （独立增量）设时间t和s满足t > s,增量$\scriptstyle B_{t}-B_{s}$独立于时间s前的过程$\scriptstyle (B_{u})_{0\leq u\leq s}$。
2. （稳定增量和正态性）设时间t和s满足t > s,增量$\scriptstyle B_{t}-B_{s}$服从均值为0方差为t−s的常态分布。
3. $\scriptstyle (B_{t})_{t\geq 0}$几乎处处连续， 也就是说在任何可能性下， 函数$\scriptstyle t\mapsto B_{t}(\omega )$是连续的.
4. 通常假设$\scriptstyle B_{0}=0$。这种布朗运动我们称它为标准的。

等价定义

一维布朗运动$\scriptstyle (B_{t})_{t\geq 0}$是关于时间t的一个随机过程，他满足 ：

1. $\scriptstyle (B_{t})_{t\geq 0}$是一个高斯过程，也就是说对于所有的时间列：$\scriptstyle t_{1}\leq t_{2}\leq ...\leq t_{n}$,随机矢量：$\scriptstyle (B_{t_{1}},B_{t_{2}},...,B_{t_{n}})$服从高维高斯分布（常态分布）。
2. $\scriptstyle (B_{t})_{t\geq 0}$几乎处处连续。
3. 对于所有s和t,均值$\scriptstyle \mathbb {E} [B_{t}]=0$，协方差$\scriptstyle E[B_{s}B_{t}]=min(s,t)$.

高维定义

$\scriptstyle (B_{t})_{t\geq 0}:=\left(B_{t}^{1},B_{t}^{2},...,B_{t}^{d}\right)_{t\geq 0}$是d维布朗运动，只需满足$\scriptstyle B^{1},B^{2},...,B^{d}$为独立的布朗运动。

换句话说，d维布朗运动 取值于$\scriptstyle \mathbb {R} ^{d}$，而它在$\scriptstyle \mathbb {R} ,\mathbb {R} ^{2},...,\mathbb {R} ^{d-1}$空间上的投影均为布朗运动。

Wiener测度的定义

设$\scriptstyle {\mathcal {C}}(\mathbb {R} ^{+},\mathbb {R} )$为从$\scriptstyle \mathbb {R} ^{+}$到$\scriptstyle \mathbb {R}$的连续函数空间，$\scriptstyle (\Omega ,{\mathcal {T}},\mathbb {P} )$为概率空间。布朗运动为映射

$B:\Omega \longrightarrow C(\mathbb {R} ^{+},\mathbb {R} )$

          $\omega \mapsto \left(t\mapsto B_{t}(\omega )\right)$.

Wiener测度 （或称为布朗运动的分布）设为$\scriptstyle W(d\omega )$,是映射B关于$\scriptstyle \mathbb {P} (d\omega )$的图测度。

换句话说， W是$\scriptstyle {\mathcal {C}}(\mathbb {R} ^{+},\mathbb {R} )$上的一个概率测度，满足对于任何$\scriptstyle A\subset {\mathcal {C}}(\mathbb {R} ^{+},\mathbb {R} )$，有

$W(A)=\mathbb {P} ((B_{t})_{t\geq 0}\in A)$。

备忘

• 布朗运动是一种增量服从常态分布的莱维过程。
• 这个定义可以帮助我们证明布朗运动的很多特性，比如几乎处处连续，轨迹几乎处处不可微等等。
• 我们可以利用二次变差的期望为时间来等价定义布朗运动。这个定义由Levy定理演化而来， 即： 轨迹连续且二次变差为$t$的随机过程为布朗运动。

性质

• 布朗运动的轨道几乎处处不可微：对于任何$\scriptstyle \omega \in \Omega$,轨道$\scriptstyle t\mapsto B_{t}(\omega )$为一个连续但是零可微的函数。
• 协方差$\scriptstyle \mathbb {E} [B_{s}B_{t}]=min(s,t)$。
• 布朗运动具有强马氏性： 对于停时T,取条件$\scriptstyle [T<\infty ]$,过程$\scriptstyle (B_{t}^{T})_{t\geq 0}:=(B_{T+t}-B_{T})_{t\geq 0}$为一个独立于$\scriptstyle (B_{s})_{0\leq s<T}$的布朗运动。
• 它的Fourier变换或特征函数为$\scriptstyle \mathbb {E} \left[e^{iuB_{t}}\right]=e^{-{\frac {tu^{2}}{2}}}$。可见，布朗运动是一个无偏，无跳跃，二项系数为1/2的Levy过程。
• 布朗运动关于时间是齐次的： 对于s > 0, $\scriptstyle (B_{t+s}-B_{s})_{t\geq 0}$是一个独立于$\scriptstyle (B_{u})_{0\leq u\leq s}$的布朗运动。
• -B是一个布朗运动。
• （稳定性） 对于c > 0， $\scriptstyle \left(cB_{\frac {t}{c^{2}}}\right)_{t\geq 0}$是布朗运动。
• （时间可逆性）$\scriptstyle \left(tB_{\frac {1}{t}}\right)_{t>0}$在t=0之外是布朗运动。
• （常返性）只有1维和2维布朗运动是常返的：

      如果$\scriptstyle d\in \{1,2\}$,集合$\scriptstyle \{t\geq 0,B_{t}=x\}$不是有界的，对于任何$\scriptstyle x\in \mathbb {R} ^{d}$，

      如果$\scriptstyle d\geq 3,\,\,\,\lim _{t\rightarrow \infty }||B_{t}||=+\infty$（几乎处处）。

• （反射原理）

$\mathbb {P} [\sup _{0\leq s\leq t}B_{s}\geq a]=2\mathbb {P} [B_{t}\geq a]=\mathbb {P} [|B_{t}|\geq a].$

布朗运动的数学构造

利用Kolmogorov一致性定理

设$(f_{t})_{t\in {\mathbb {R} }_{+}}$为$L^{2}({\mathbb {R} }_{+})$空间中一列实值函数。设：

$\forall (u,v)\in {\mathbb {R} }_{+}{\text{, }}s(u,v)={\langle f_{u},f_{v}\rangle }_{L^{2}({\mathbb {R} }_{+})}=\int _{\mathbb {R} _{+}}f_{u}(x)f_{v}(x)dx$

这列函数满足：

$\forall k\in \mathbb {N} ^{*}$，任意的$t_{1},...,t_{k}\in \mathbb {R} _{+}$,矩阵$\left(s(t_{i},t_{j})\right)_{1\leq i,j\leq k}$为对称半正定的。

利用Kolmogorov一致性定理，我们可以构造高斯过程$\{Y_{t}\}_{t\in \mathbb {R} _{+}}$，它的均值$m$任意， 协方差为上面定义的$s$。

当$(f_{t})_{t\in {\mathbb {R} }_{+}}=\left({\sqrt {c}}.1\!\!1_{[0,t]}\right)_{t\in \mathbb {R} _{+}}$，$c>0$为不依赖于t的常数，$1\!\!1_{[0,t]}$为$[0,t]$上的示性函数。则：

$s(u,v)=c\int \limits _{\mathbb {R} }1\!\!1_{[0,u]}(s)1\!\!1_{[0,v]}(s)ds={\text{c.min}}(u,v)$

在这个情况下，矩阵$\left(s(t_{i},t_{j})\right)_{1\leq i,j\leq k}$是对称且正定的。

我们称一个高斯过程为 布朗运动当且仅当均值为0，协方差为s。$c=Var(B_{1})$，当$c=1$时， 称之为 标准的布朗运动.

利用随机过程

Donsker定理（1951）证明了逐渐归一化的随机游走弱收敛于布朗运动。

$\left({\frac {1}{\sigma {\sqrt {n}}}}\left(\sum _{k=1}^{[nt]}U_{k}+(nt-[nt])U_{[nt]+1}\right)\right)_{0\leq t\leq 1}{\underset {n\rightarrow \infty }{\Longrightarrow }}(B_{t})_{0\leq t\leq 1}$

其中（U_n, n ≥ 1） 独立同分布， 均值为0,方差为σ的随机变量序列。

利用傅立叶级数

设2列独立的正态$\scriptstyle {\mathcal {N}}(0,1)$随机变量序列$\scriptstyle (N_{k},k\in \mathbb {N} )$和$\scriptstyle (N'_{k},k\in \mathbb {N} )$。定义$\scriptstyle (B_{t})_{t\geq 0}$：

$B_{t}:=tN_{0}+\sum _{k=1}^{+\infty }{\frac {\sqrt {2}}{2\pi k}}\left(N_{k}\cos(2\pi kt-1)+N_{k}'\sin(2\pi kt)\right)$

为布朗运动。

争议

对于布朗运动之误解

值得注意的是，布朗运动指的是花粉迸出的微粒的随机运动，而不是分子的随机运动。但是通过布朗运动的现象可以间接证明分子的无规则运动。

一般而言，花粉之直径分布于30～50μm、最小亦有10μm之谱，相较之下，水分子直径约0.3nm（非球形，故依部位而有些许差异。），略为花粉的十万分之一。因此，花粉难以产生不规则振动，事实上花粉几乎不受布朗运动之影响。在罗伯特·布朗的手稿中，“tiny particles from the pollen grains of flowers”意味着“自花粉粒中迸出之微粒子”，而非指花粉本身。然而在翻译为诸国语言时，时常受到误解，以为是“水中的花粉受布朗运动而呈现不规则运动”。积非成是之下，在大众一般观念中，此误会已然根深蒂固。

花粉具备足够大小，几乎无法观测到布朗运动。

在日本，以鹤田宪次‘物理学丛话’为滥觞，岩波书店‘岩波理科辞典’、花轮重雄‘物理学読本’、汤川秀树‘素粒子’、坂田昌一‘物理学原论（上）’、平凡社‘理科辞典’、福冈伸一著‘生物与无生物之间’，甚至日本的理科课本等等，皆呈现错误之叙述。

直到1973年横浜市立大学名誉教授植物学者岩波洋造在著书‘植物之SEX‐不为人知的性之世界’中，点出此误谬之前，鲜少有人注意。国立教育研究所物理研究室长板仓圣宣在参与制作岩波电影‘回动粒子’（1970年）时，实际摄影漂浮在水中之花粉，却发现花粉完全没有布朗运动。遂于1975年3月，以“外行人与专家之间”为题，解说有关布朗运动之误会。

参见

• 维纳过程

外部链接

• 漫谈布朗运动 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Brownian motion - an overview