排列

数学概念

排列(英語:Permutation)或置換是將相異物件或符號根據確定的順序重排。每個順序都稱作一個置換排列[注 1]。例如,從一到六的數字有720種排列,對應於由這些數字組成的所有不重複亦不闕漏的序列,例如"4, 5, 6, 1, 2, 3" 與1, 3, 5, 2, 4, 6

「Permutation」的各地常用名稱
中國大陸排列
臺灣排列、置換
港澳排列
日本置換
P(3,3)=6

置換(排列)的廣義概念在不同語境下有不同的形式定義:

  • 集合論中,一個集合的置換是從該集合映至自身的對射;在有限集的情況,便與上述定義一致。
  • 組合數學中,置換一詞的傳統意義是一個有序序列,其中元素不重複,但可能有闕漏。例如1,2,4,3可以稱為1,2,3,4,5,6的一個置換,但是其中不含5,6。此時通常會標明為「從n個對象取r個對象的置換」。

定義

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一個集合置換為從該集合映至自身的對射函數

 

恆等置換的定義為置換 使得對所有  

所有關於 個元素的集合 的置換組成的集合構成對稱群 ,其群運算函數的複合。因此兩個置換,  的積 的定義為  

兩個置換的複合一般不滿足交換律 

置換數的計算

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此節使用置換的傳統定義。從 個相異元素中取出 個元素, 個元素的排列數量為:

 

其中P意為Permutation(排列),!表示階乘運算。

賽馬為例,有8匹馬參加比賽,玩家需要在彩票上填入前三勝出的馬匹的號碼,從8匹馬中取出3匹馬來排前3名,排列數量為:

 

因為一共存在336種可能性,因此玩家在一次填入中中獎的概率應該是:

 

不過,中國大陸的教科書則是把從n取k的情況記作  (A代表Arrangement,即排列)。[1]

重複置換

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上面的例子是建立在取出元素不重複出現狀況。

 個元素中取出 個元素, 個元素可以重複出現,這排列數量為:

 [2]

四星彩為例,10個數字取4個數字,因可能重複所以排列數量為:

 

這時的一次性添入中獎的概率就應該是:

 

抽象代數

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集合論抽象代數等領域中,「置換」一詞被保留為集合(通常是有限集)到自身的對射的一個稱呼。例如對於從一到十的數字構成的集合,其置換將是從集合   到自身的對射。因此,置換是擁有相同定義域與對應域的函數,且其為對射的。一個集合上的置換在函數合成運算下構成一個,稱為對稱群或置換群。

符號

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以下僅考慮有限集上的置換(視為對射),由於   個元素的有限集可以一一對應到集合  ,有限集的置換可以化約到形如 {1, ..., n} 的集合之置換。此時有兩種表示法。

第一,利用矩陣符號將自然排序寫在第一列,而將置換後的排序寫在第二列。例如:

 

表示集合 {1,2,3,4,5} 上的置換  

第二,藉由置換的相繼作用描述,這被稱為「輪換分解」。分解方式如下:固定置換  。對任一元素  ,由於集合有限而   是對射,必存在正整數   使得  ,故可將置換    的相繼作用表成  ,其中   是滿足   的最小正整數。

稱上述表法為    下的輪換  稱為輪換的長度。我們在此將輪換視作環狀排列,例如

 
 

是同一個輪換。由此可知    下的輪換只決定於    作用下的軌道,於是,任兩個元素   或給出同一個輪換,或給出不交的輪換。

我們將輪換   理解為一類特殊的置換[注 2]:僅須定義置換   ,而在其它元素上定義為恆等映射。不交的輪換在函數合成的意義下可相交換。

因此我們可以將集合 {1, ..., n} 對一置換分解成不交輪換的合成,此分解若不計順序則是唯一的。例如前一個例子的   就對應到 (1 2 5) (3 4) 或 (3 4) (1 2 5)。

輪換

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輪換一是種特殊的置換。

如果給定  上的一個置換,  上的一個子集。

若有

 

 

則稱  為一個輪換。  為輪換的長度。

特殊置換

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在上節的置換表法中,長度等於二的環狀置換稱為換位,這種環狀置換   不外是將元素   交換,並保持其它元素不變。對稱群可以由換位生成。

由於環狀置換長度為 的置換 可分解為最少 個換位,若 為偶數,則 偶換位,否則 奇換位。即環狀置換的長度為奇數,該置換為偶換位;環狀置換的長度為偶數,該置換為奇換位

由此可定義任一置換的奇偶性,並可證明:一個置換是偶換位的充要條件是它可以由偶數個換位生成。偶換位在置換群中構成一個正規子群,稱為交錯群

計算理論中的置換

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某些舊課本將置換視為變數值的賦值。在計算機科學中,這就是將值

1, 2, ..., n

賦予變數

x1, x2, ..., xn

的賦值運算子,並要求每個值只能賦予一個變數。

賦值/代入的差別表明函數式編程指令式編程之差異。純粹的函數式編程並不提供賦值機制。現今數學的慣例是將置換看作函數,其間運算看作函數合成,函數式編程也類似。就賦值語言的觀點,一個代入是將給定的值「同時」重排,這是個有名的問題。

置換圖

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(2,5,1,4,3,6)的置換圖

取一個無向G,將圖Gn頂點標記v1,...,vn,對應一個置換( s(1) s(2) ... s(n) ),當且僅當s(i) < s(j) 而 i > j,則圖的vivj相連,這樣的圖稱為置換圖。

置換圖的補圖必是置換圖。

使用計算器

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多數計算器都有個計算置換數的 nPr 鍵。然而此鍵在一些最先進的桌上型機種中卻被隱藏了。例如:在 TI-83 中,按 MATH、三次右鍵、再按二。在卡西歐的圖形計算機中,按 OPTN,一次右鍵(F6)、PROB(F3)、nPr(F2)。

試算表語法

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多數試算表軟件都有函式 PERMUT(NumberNumber chosen),用以計算置換。Number 是描述物件數量的一個整數,Number chosen 是描述每個置換中所取物件數的整數。

C++演算範例

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迴圈法

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#include <iostream>
using namespace std;
bool arrsame(int* arr, int len, int num) {
	int i;
	for (i = 0; i < len; i++)
		if (arr[i] == num)
			break;
	return i != len;
}
bool next_perm(int* perm, const int k, const int n) {
	int i = k - 1;
	do
		perm[i]++;
	while (arrsame(perm, i, perm[i]) || (perm[i] >= n && i--));
	if (perm[0] >= n)
		return 0;
	for (int num = 0, seat = i + 1; seat < k; num++)
		if (!arrsame(perm, i + 1, num))
			perm[seat++] = num;
	return 1;
}
int main() {
	int n, k;
	cout << "perm(n,k):" << endl;
	cin >> n >> k;
	if (n < k || k <= 0)
		return 0;
	int* perm = new int[k];
	for (int i = 0; i < k; i++)
		perm[i] = i;
	do
		for (int i = 0; i < k; cout << ((++i < k) ? ',' : '\n'))
			cout << perm[i] + 1;
	while (next_perm(perm, k, n));
	delete[] perm;
	return 0;
}

遞歸法

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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

struct prem {
	int len;
	vector<int> used, position;
	function<void(vector<int>&)> action;
	prem(int l = 0, function<void(vector<int>&)> a = [](vector<int>& position) {}) : len(l), used(l, -1), position(l), action(a) {}
	void run(int now = -1) {
		if (now == len - 1) {
			action(position);
			return;
		}
		int next = now + 1;
		for (int i = 0; i < len; i++) {
			if (used[i] == -1) {
				used[i] = next;
				position[next] = i;
				run(next);
				used[i] = -1;
			}
		}
	}
};
int main() {
	ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0);
	int len = 4;
	prem p(len, [&](vector<int>& p) {
		for (int i = 0; i < len; i++) {
			cout << p[i] << " ";
		}
		cout << endl;
	});
	p.run();
	return 0;
}

python演算範例

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import sys


def perm(dim, num):
    if not 0 <= num <= dim:
        print('It must be that 0 <= num <= dim!', flush=True, file=sys.stderr)
        return []

    result = []
    xstack = []

    arr = []
    xset = set(range(dim, 0, -1))

    xstack.append((arr, xset))

    while len(xstack):
        theArr, theSet = xstack.pop()
        for theInt in theSet:
            newSet = theSet.copy()
            newSet.remove(theInt)
            newArr = theArr.copy()
            newArr.append(theInt)
            if num == len(newArr):
                result.append(newArr)
            else:
                xstack.append((newArr, newSet))
    return result

註釋

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  1. ^ 對於不排序的情形,請見條目組合
  2. ^ 可遞置換

參考文獻

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  1. ^ 普通高中教科书 数学 选择性必修第三册(A版). 北京市海淀區中關村南大街17號院1號樓: 人民教育出版社. : 17 [2024-03-30]. ISBN 978-7-107-34598-2. 
  2. ^ 組合數學 ─算法與分析─. 九章出版社. : 29.  OCLC:44527392
  • Miklos Bona. "Combinatorics of Permutations", Chapman Hall-CRC, 2004. ISBN 978-1-58488-434-7.
  • Donald Knuth. The Art of Computer Programming, Volume 4: Generating All Tuples and Permutations, Fascicle 2, first printing. Addison-Wesley, 2005. ISBN 978-0-201-85393-3.
  • Donald Knuth. The Art of Computer Programming, Volume 3: Sorting and Searching, Second Edition. Addison-Wesley, 1998. ISBN 978-0-201-89685-5. Section 5.1: Combinatorial Properties of Permutations, pp.11–72.

外部連結

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