設 I 是一個實數 區間 ，記為：[a , ∞) 或 [a , b ] 或 [a , b )，其中 a < b 。又設β 和 u 為定義在 I 上的實數值的連續函數 。假設 u 是一個在 I 的內部 （也就是不包括端點）可微 的函數，並且滿足如下的微分不等式：
u
′
(
t
)
≤
β
(
t
)
u
(
t
)
,
t
∈
I
∘
,
{\displaystyle u'(t)\leq \beta (t)\,u(t),\qquad t\in I^{\circ },}
那麼對於所有的
t
∈
I
∘
{\displaystyle t\in I^{\circ }}
u 都小於等於以下微分方程
y
′
(
t
)
=
β
(
t
)
y
(
t
)
{\displaystyle y'(t)=\beta (t)\,y(t)}
u
(
t
)
≤
u
(
a
)
exp
(
∫
a
t
β
(
s
)
d
s
)
{\displaystyle u(t)\leq u(a)\exp {\biggl (}\int _{a}^{t}\beta (s)\,\mathrm {d} s{\biggr )}}
β 和 u 的符號沒有任何要求。
如果設
v
(
t
)
=
exp
(
∫
a
t
β
(
s
)
d
s
)
{\displaystyle v(t)=\exp {\biggl (}\int _{a}^{t}\beta (s)\,\mathrm {d} s{\biggr )}}
是以下微分方程
v
′
(
t
)
=
β
(
t
)
v
(
t
)
,
{\displaystyle v'(t)=\beta (t)\,v(t),}
其中 v (a ) = 1 的解，那麼對所有的 t 都有 v (t ) > 0， 因此根據複合函數求導法則中的除法定則 ：
d
d
t
(
u
v
)
=
u
′
v
−
v
′
u
v
2
≤
β
u
v
−
β
v
u
v
2
=
0
{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {u}{v}}\right)={\frac {u'v-v'u}{v^{2}}}\leq {\frac {\beta uv-\beta vu}{v^{2}}}=0}
對所有的 t > a 成立，因此
u
(
t
)
v
(
t
)
≤
u
(
a
)
v
(
a
)
=
u
(
a
)
{\displaystyle {\frac {u(t)}{v(t)}}\leq {\frac {u(a)}{v(a)}}=u(a)}
於是格朗沃爾不等式得證。
設 I 是一個實數 區間 ，記為：[a , ∞) 或 [a , b ] 或 [a , b )，其中 a < b 。又設 α 、β 和 u 為定義在 I 上的實數值的函數 。假設 β 和 u 是連續的，則有：
(a) 如果 β 是非負函數並且 u 滿足如下的積分不等式：
u
(
t
)
≤
α
(
t
)
+
∫
a
t
β
(
s
)
u
(
s
)
d
s
,
t
∈
I
{\displaystyle u(t)\leq \alpha (t)+\int _{a}^{t}\beta (s)u(s)\,\mathrm {d} s,\qquad t\in I}
那麼
u
(
t
)
≤
α
(
t
)
+
∫
a
t
α
(
s
)
β
(
s
)
exp
(
∫
s
t
β
(
r
)
d
r
)
d
s
,
t
∈
I
{\displaystyle u(t)\leq \alpha (t)+\int _{a}^{t}\alpha (s)\beta (s)\exp {\biggl (}\int _{s}^{t}\beta (r)\,\mathrm {d} r{\biggr )}\mathrm {d} s,\qquad t\in I}
(b) 如果在之前的條件下， α 還是一個常數，那麼
u
(
t
)
≤
α
exp
(
∫
a
t
β
(
s
)
d
s
)
,
t
∈
I
.
{\displaystyle u(t)\leq \alpha \exp {\biggl (}\int _{a}^{t}\beta (s)\,\mathrm {d} s{\biggr )},\qquad t\in I.}
注意：
不等式的成立條件里並沒有限制 α 和 u 的符號；
相比於微分形式，積分形式中對函數 u 的可微性沒有做要求；
(a) 定義
v
(
s
)
=
exp
(
−
∫
a
s
β
(
r
)
d
r
)
∫
a
s
β
(
r
)
u
(
r
)
d
r
,
s
∈
I
.
{\displaystyle v(s)=\exp {\biggl (}{-}\int _{a}^{s}\beta (r)\,\mathrm {d} r{\biggr )}\int _{a}^{s}\beta (r)u(r)\,\mathrm {d} r,\qquad s\in I.}
則運用複合函數求導法則中的乘積法則 、鏈式法則 、指數函數 的求導法則以及微積分基本定理 ，可以得到：
v
′
(
s
)
=
(
u
(
s
)
−
∫
a
s
β
(
r
)
u
(
r
)
d
r
⏟
≤
α
(
s
)
)
β
(
s
)
exp
(
−
∫
a
s
β
(
r
)
d
r
)
,
s
∈
I
{\displaystyle v'(s)={\biggl (}\underbrace {u(s)-\int _{a}^{s}\beta (r)u(r)\,\mathrm {d} r} _{\leq \,\alpha (s)}{\biggr )}\beta (s)\exp {\biggl (}{-}\int _{a}^{s}\beta (r)\mathrm {d} r{\biggr )},\qquad s\in I}
由於注意到括號中的部分小於 α ，可以得到相應的不等式，並進行積分。由於函數 β 以及其指數都是非負函數，不等號保持不變。然而 v (a ) = 0，因此積分式等價於：
v
(
t
)
≤
∫
a
t
α
(
s
)
β
(
s
)
exp
(
−
∫
a
s
β
(
r
)
d
r
)
d
s
.
{\displaystyle v(t)\leq \int _{a}^{t}\alpha (s)\beta (s)\exp {\biggl (}{-}\int _{a}^{s}\beta (r)\,\mathrm {d} r{\biggr )}\mathrm {d} s.}
再運用第一步里 v (t ) 的定義，就得到：
∫
a
t
β
(
s
)
u
(
s
)
d
s
=
exp
(
∫
a
t
β
(
r
)
d
r
)
v
(
t
)
≤
∫
a
t
α
(
s
)
β
(
s
)
exp
(
∫
a
t
β
(
r
)
d
r
−
∫
a
s
β
(
r
)
d
r
⏟
=
∫
s
t
β
(
r
)
d
r
)
d
s
{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{t}\beta (s)u(s)\,\mathrm {d} s&=\exp {\biggl (}\int _{a}^{t}\beta (r)\,\mathrm {d} r{\biggr )}v(t)\\&\leq \int _{a}^{t}\alpha (s)\beta (s)\exp {\biggl (}\underbrace {\int _{a}^{t}\beta (r)\,\mathrm {d} r-\int _{a}^{s}\beta (r)\,\mathrm {d} r} _{=\,\int _{s}^{t}\beta (r)\,\mathrm {d} r}{\biggr )}\mathrm {d} s\end{aligned}}}
最後將原來條件里的不等式帶入上式左邊，就可以得到格朗沃爾不等式了。
(b) 如果函數 α 為常數函數，那麼命題 (a) 中不等式的右邊可以進行積分。由微積分基本定理可以獲得：
u
(
t
)
≤
α
+
(
−
α
exp
(
∫
s
t
β
(
r
)
d
r
)
)
|
s
=
a
s
=
t
=
α
exp
(
∫
a
t
β
(
r
)
d
r
)
,
t
∈
I
{\displaystyle {\begin{aligned}u(t)&\leq \alpha +{\biggl (}{-}\alpha \exp {\biggl (}\int _{s}^{t}\beta (r)\,\mathrm {d} r{\biggr )}{\biggr )}{\biggr |}_{s=a}^{s=t}\\&=\alpha \exp {\biggl (}\int _{a}^{t}\beta (r)\,\mathrm {d} r{\biggr )},\qquad t\in I\end{aligned}}}
^ T. H. Gronwall: Note on the derivative with respect to a parameter of the solutions of a system of differential equations, Ann. of Math 20 (1919), 292–296.
^ Richard Bellman, The stability of solutions of linear differential equations, Duke Math. J. 10 (1943), 643–647.
樓紅衛，林偉，《常微分方程》，復旦大學出版社，2007年，ISBN：978-7-309-05590-0/O.400
李榮華，劉播，《微分方程數值解法(第4版)》，高等教育出版社，2009年。
Jan A. Sanders, Ferdinand Verhulst, James A. Murdock, Averaging methods in nonlinear dynamical systems , Springer,2007. 
