设 I 是一个实数 区间 ，记为：[a , ∞) 或 [a , b ] 或 [a , b )，其中 a < b 。又设β 和 u 为定义在 I 上的实数值的连续函数 。假设 u 是一个在 I 的内部 （也就是不包括端点）可微 的函数，并且满足如下的微分不等式：
u
′
(
t
)
≤
β
(
t
)
u
(
t
)
,
t
∈
I
∘
,
{\displaystyle u'(t)\leq \beta (t)\,u(t),\qquad t\in I^{\circ },}
那么对于所有的
t
∈
I
∘
{\displaystyle t\in I^{\circ }}
u 都小于等于以下微分方程
y
′
(
t
)
=
β
(
t
)
y
(
t
)
{\displaystyle y'(t)=\beta (t)\,y(t)}
u
(
t
)
≤
u
(
a
)
exp
(
∫
a
t
β
(
s
)
d
s
)
{\displaystyle u(t)\leq u(a)\exp {\biggl (}\int _{a}^{t}\beta (s)\,\mathrm {d} s{\biggr )}}
β 和 u 的符号没有任何要求。
如果设
v
(
t
)
=
exp
(
∫
a
t
β
(
s
)
d
s
)
{\displaystyle v(t)=\exp {\biggl (}\int _{a}^{t}\beta (s)\,\mathrm {d} s{\biggr )}}
是以下微分方程
v
′
(
t
)
=
β
(
t
)
v
(
t
)
,
{\displaystyle v'(t)=\beta (t)\,v(t),}
其中 v (a ) = 1 的解，那么对所有的 t 都有 v (t ) > 0， 因此根据复合函数求导法则中的除法定则 ：
d
d
t
(
u
v
)
=
u
′
v
−
v
′
u
v
2
≤
β
u
v
−
β
v
u
v
2
=
0
{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {u}{v}}\right)={\frac {u'v-v'u}{v^{2}}}\leq {\frac {\beta uv-\beta vu}{v^{2}}}=0}
对所有的 t > a 成立，因此
u
(
t
)
v
(
t
)
≤
u
(
a
)
v
(
a
)
=
u
(
a
)
{\displaystyle {\frac {u(t)}{v(t)}}\leq {\frac {u(a)}{v(a)}}=u(a)}
于是格朗沃尔不等式得证。
设 I 是一个实数 区间 ，记为：[a , ∞) 或 [a , b ] 或 [a , b )，其中 a < b 。又设 α 、β 和 u 为定义在 I 上的实数值的函数 。假设 β 和 u 是连续的，则有：
(a) 如果 β 是非负函数并且 u 满足如下的积分不等式：
u
(
t
)
≤
α
(
t
)
+
∫
a
t
β
(
s
)
u
(
s
)
d
s
,
t
∈
I
{\displaystyle u(t)\leq \alpha (t)+\int _{a}^{t}\beta (s)u(s)\,\mathrm {d} s,\qquad t\in I}
那么
u
(
t
)
≤
α
(
t
)
+
∫
a
t
α
(
s
)
β
(
s
)
exp
(
∫
s
t
β
(
r
)
d
r
)
d
s
,
t
∈
I
{\displaystyle u(t)\leq \alpha (t)+\int _{a}^{t}\alpha (s)\beta (s)\exp {\biggl (}\int _{s}^{t}\beta (r)\,\mathrm {d} r{\biggr )}\mathrm {d} s,\qquad t\in I}
(b) 如果在之前的条件下， α 还是一个常数，那么
u
(
t
)
≤
α
exp
(
∫
a
t
β
(
s
)
d
s
)
,
t
∈
I
.
{\displaystyle u(t)\leq \alpha \exp {\biggl (}\int _{a}^{t}\beta (s)\,\mathrm {d} s{\biggr )},\qquad t\in I.}
注意：
不等式的成立条件里并没有限制 α 和 u 的符号；
相比于微分形式，积分形式中对函数 u 的可微性没有做要求；
(a) 定义
v
(
s
)
=
exp
(
−
∫
a
s
β
(
r
)
d
r
)
∫
a
s
β
(
r
)
u
(
r
)
d
r
,
s
∈
I
.
{\displaystyle v(s)=\exp {\biggl (}{-}\int _{a}^{s}\beta (r)\,\mathrm {d} r{\biggr )}\int _{a}^{s}\beta (r)u(r)\,\mathrm {d} r,\qquad s\in I.}
则运用复合函数求导法则中的乘积法则 、链式法则 、指数函数 的求导法则以及微积分基本定理 ，可以得到：
v
′
(
s
)
=
(
u
(
s
)
−
∫
a
s
β
(
r
)
u
(
r
)
d
r
⏟
≤
α
(
s
)
)
β
(
s
)
exp
(
−
∫
a
s
β
(
r
)
d
r
)
,
s
∈
I
{\displaystyle v'(s)={\biggl (}\underbrace {u(s)-\int _{a}^{s}\beta (r)u(r)\,\mathrm {d} r} _{\leq \,\alpha (s)}{\biggr )}\beta (s)\exp {\biggl (}{-}\int _{a}^{s}\beta (r)\mathrm {d} r{\biggr )},\qquad s\in I}
由于注意到括号中的部分小于 α ，可以得到相应的不等式，并进行积分。由于函数 β 以及其指数都是非负函数，不等号保持不变。然而 v (a ) = 0，因此积分式等价于：
v
(
t
)
≤
∫
a
t
α
(
s
)
β
(
s
)
exp
(
−
∫
a
s
β
(
r
)
d
r
)
d
s
.
{\displaystyle v(t)\leq \int _{a}^{t}\alpha (s)\beta (s)\exp {\biggl (}{-}\int _{a}^{s}\beta (r)\,\mathrm {d} r{\biggr )}\mathrm {d} s.}
再运用第一步里 v (t ) 的定义，就得到：
∫
a
t
β
(
s
)
u
(
s
)
d
s
=
exp
(
∫
a
t
β
(
r
)
d
r
)
v
(
t
)
≤
∫
a
t
α
(
s
)
β
(
s
)
exp
(
∫
a
t
β
(
r
)
d
r
−
∫
a
s
β
(
r
)
d
r
⏟
=
∫
s
t
β
(
r
)
d
r
)
d
s
{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{t}\beta (s)u(s)\,\mathrm {d} s&=\exp {\biggl (}\int _{a}^{t}\beta (r)\,\mathrm {d} r{\biggr )}v(t)\\&\leq \int _{a}^{t}\alpha (s)\beta (s)\exp {\biggl (}\underbrace {\int _{a}^{t}\beta (r)\,\mathrm {d} r-\int _{a}^{s}\beta (r)\,\mathrm {d} r} _{=\,\int _{s}^{t}\beta (r)\,\mathrm {d} r}{\biggr )}\mathrm {d} s\end{aligned}}}
最后将原来条件里的不等式带入上式左边，就可以得到格朗沃尔不等式了。
(b) 如果函数 α 为常数函数，那么命题 (a) 中不等式的右边可以进行积分。由微积分基本定理可以获得：
u
(
t
)
≤
α
+
(
−
α
exp
(
∫
s
t
β
(
r
)
d
r
)
)
|
s
=
a
s
=
t
=
α
exp
(
∫
a
t
β
(
r
)
d
r
)
,
t
∈
I
{\displaystyle {\begin{aligned}u(t)&\leq \alpha +{\biggl (}{-}\alpha \exp {\biggl (}\int _{s}^{t}\beta (r)\,\mathrm {d} r{\biggr )}{\biggr )}{\biggr |}_{s=a}^{s=t}\\&=\alpha \exp {\biggl (}\int _{a}^{t}\beta (r)\,\mathrm {d} r{\biggr )},\qquad t\in I\end{aligned}}}
^ T. H. Gronwall: Note on the derivative with respect to a parameter of the solutions of a system of differential equations, Ann. of Math 20 (1919), 292–296.
^ Richard Bellman, The stability of solutions of linear differential equations, Duke Math. J. 10 (1943), 643–647.
楼红卫，林伟，《常微分方程》，复旦大学出版社，2007年，ISBN：978-7-309-05590-0/O.400
李荣华，刘播，《微分方程数值解法(第4版)》，高等教育出版社，2009年。
Jan A. Sanders, Ferdinand Verhulst, James A. Murdock, Averaging methods in nonlinear dynamical systems , Springer,2007. 
