矩生成函數

機率論用語

機率論統計學中,一個實數值隨機變量矩母函數moment-generating function)又稱矩生成函數動差亦被稱作矩,矩生成函數是其機率分佈的一種替代規範。 因此,與直接使用機率密度函數累積分佈函數相比,它為分析結果提供了替代途徑的基礎。 對於由隨機變量的加權和定義的分佈的矩生成函數,有特別簡單的結果。 然而,並非所有隨機變量都具有矩生成函數。

顧名思義,矩生成函數可用於計算分佈的矩:關於 0 的第個矩是矩生成函數的第階導數,在 0 處求值。

除了實值分佈(單變量分佈),矩生成函數可以定義為向量或矩陣值的隨機變量,甚至可以擴展到更一般的情況。

特徵函數不同,一個實數值分佈的矩生成函數並不總是存在。 分佈的矩生成函數的行為與分佈的性質之間存在關係,例如矩的存在。

定義

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隨機變量 的動差母函數定義為:

 

前提是這個期望值存在。

計算

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如果 具有連續機率密度函數 ,則它的動差母函數由下式給出:

 
 
 

其中 是第 階矩。  雙邊拉普拉斯轉換

不管機率分佈是不是連續,動差母函數都可以用黎曼-斯蒂爾吉斯積分給出:

 

其中 累積分佈函數

如果 是一系列獨立的隨機變量,且

 

其中 是常數,則 的機率密度函數是每一個 的機率密度函數的卷積,而 的動差母函數則為:

  。

對於分量為實數向量值隨機變量X,動差母函數為:

 

其中 是一個向量, 數量積

意義

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只要動差母函數在 周圍的開區間存在,第 個矩為:

  。

如果動差母函數在這個區間內是有限的,則它唯一決定了一個機率分佈。

一些其它在機率論中常見的積分轉換也與動差母函數有關,包括特徵函數以及機率生成函數

累積量生成函數是動差母函數的對數。

例子

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下面是一些矩生成函數和特徵函數的例子,用於比較。 可以看出,特徵函數是矩生成函數 存在時的威克轉動(Wick rotation)

分佈 矩生成函數   特徵函數  
退化      
伯努利      
幾何    
 
 
二項式      
負二項  [註 1]  [1]  
泊松      
均勻(連續型)      
均勻(離散型)      
拉普拉斯      
正態      
卡方(Chi-squared)      
Noncentral chi-squared      
伽瑪(Gamma)      
指數(Exponential)      
多元正態      
柯西(Cauchy)   不存在  
Multivariate Cauchy

 [2]

不存在  

參見

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  1. ^ 此處定義為:每次獨立隨機試驗的成功率為 時,第 次成功前的失敗次數的分佈。定義上的差異詳見負二項分佈

參考文獻

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  1. ^ Weisstein, Eric W. (編). Wolfram MathWorld (首頁). at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2022-11-21] (英語). 式(11)。
  2. ^ Kotz et al.[需要完整來源] p. 37 using 1 as the number of degree of freedom to recover the Cauchy distribution