矩生成函数

在概率论和统计学中，一个实数值随机变量的矩母函数（moment-generating function）又称矩生成函数，矩亦被称作动差，矩生成函数是其概率分布的一种替代规范。 因此，与直接使用概率密度函数或累积分布函数相比，它为分析结果提供了替代途径的基础。 对于由随机变量的加权和定义的分布的矩生成函数，有特别简单的结果。 然而，并非所有随机变量都具有矩生成函数。

顾名思义，矩生成函数可用于计算分布的矩：关于 0 的第$n$个矩是矩生成函数的第$n$阶导数，在 0 处求值。

除了实值分布（单变量分布），矩生成函数可以定义为向量或矩阵值的随机变量，甚至可以扩展到更一般的情况。

与特征函数不同，一个实数值分布的矩生成函数并不总是存在。 分布的矩生成函数的行为与分布的性质之间存在关系，例如矩的存在。

定义

随机变量$X$的矩生成函数定义为：

$M_{X}(t)=\mathbb {E} \left(e^{tX}\right),\quad t\in \mathbb {R}$

前提是这个期望存在。

计算

如果$X$具有连续概率密度函数$f(x)$，则它的矩生成函数由下式给出：

$M_{X}(t)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{tx}f(x)\,\mathrm {d} x$

$=\int _{-\infty }^{\infty }\left(1+tx+{\frac {t^{2}x^{2}}{2!}}+\cdots \right)f(x)\,\mathrm {d} x$

$=1+tm_{1}+{\frac {t^{2}m_{2}}{2!}}+\cdots$

其中$m_{i}$是第$i$阶矩。$M_{X}(-t)$是$f(x)$的双边拉普拉斯变换。

不管概率分布是不是连续，矩生成函数都可以用黎曼-斯蒂尔吉斯积分给出：

$M_{X}(t)=\int _{0}^{1}e^{tx}\,dF(x)$

其中$F$是累积分布函数。

如果$X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}$是一系列独立的随机变量，且

$S_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}X_{i}$

其中$a_{i}$是常数，则$S_{n}$的概率密度函数是每一个$X_{i}$的概率密度函数的卷积，而$S_{n}$的矩生成函数则为：

$M_{S_{n}}(t)=M_{X_{1}}(a_{1}t)M_{X_{2}}(a_{2}t)\cdots M_{X_{n}}(a_{n}t)$　。

对于分量为实数的向量值随机变量X，矩生成函数为：

$M_{X}(\mathbf {t} )=\operatorname {E} \left(e^{\langle \mathbf {t} ,\mathbf {X} \rangle }\right)$

其中$\mathbf {t}$是一个向量，$\langle \mathbf {t} ,\mathbf {X} \rangle$ 是数量积。

意义

只要矩生成函数在$t=0$周围的开区间存在，第$n$个矩为：

$\operatorname {\mathbb {E} } \left(X^{n}\right)=M_{X}^{(n)}(0)=\left.{\frac {\mathrm {d} ^{n}M_{X}(t)}{\mathrm {d} t^{n}}}\right|_{t=0}$　。

如果矩生成函数在这个区间内是有限的，则它唯一决定了一个概率分布。

一些其它在概率论中常见的积分变换也与矩生成函数有关，包括特征函数以及概率生成函数。

累积量生成函数是矩生成函数的对数。

例子

下面是一些矩生成函数和特征函数的例子，用于比较。 可以看出，特征函数是矩生成函数$M_{X}(t)$存在时的威克转动（Wick rotation）。

分布	矩生成函数 $M_{X}(t)$	特征函数 $\varphi (t)$
退化 $\delta _{a}$	$e^{ta}$	$e^{ita}$
伯努利 $P(X=1)=p$	$1-p+pe^{t}$	$1-p+pe^{it}$
几何 $(1-p)^{k-1}\,p$	${\frac {pe^{t}}{1-(1-p)e^{t}}}$ $\forall t<-\ln(1-p)$	${\frac {pe^{it}}{1-(1-p)\,e^{it}}}$
二项式 $B(n,p)$	$\left(1-p+pe^{t}\right)^{n}$	$\left(1-p+pe^{it}\right)^{n}$
负二项 $\operatorname {NB} (r,p)$	$\left({\frac {p}{1-e^{t}+pe^{t}}}\right)^{r},t<-\log(1-p)$	$\left({\frac {p}{1-e^{it}+pe^{it}}}\right)^{r}$
泊松 $\operatorname {Pois} (\lambda )$	$e^{\lambda (e^{t}-1)}$	$e^{\lambda (e^{it}-1)}$
均匀(连续型) $\operatorname {U} (a,b)$	${\frac {e^{tb}-e^{ta}}{t(b-a)}}$	${\frac {e^{itb}-e^{ita}}{it(b-a)}}$
均匀(离散型) $\operatorname {DU} (a,b)$	${\frac {e^{at}-e^{(b+1)t}}{(b-a+1)(1-e^{t})}}$	${\frac {e^{ait}-e^{(b+1)it}}{(b-a+1)(1-e^{it})}}$
拉普拉斯 $L(\mu ,b)$	${\frac {e^{t\mu }}{1-b^{2}t^{2}}},~\left\vert t\right\vert <{\frac {1}{b}}$	${\frac {e^{it\mu }}{1+b^{2}t^{2}}}$
正态 $N(\mu ,\sigma ^{2})$	$e^{t\mu +{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}}$	$e^{it\mu -{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}}$
卡方(Chi-squared) $\chi _{k}^{2}$	$(1-2t)^{-{\frac {k}{2}}}$	$(1-2it)^{-{\frac {k}{2}}}$
Noncentral chi-squared $\chi _{k}^{2}(\lambda )$	$e^{\frac {\lambda t}{1-2t}}(1-2t)^{-{\frac {k}{2}}}$	$e^{i\lambda t/(1-2it)}(1-2it)^{-{\frac {k}{2}}}$
伽玛(Gamma) $\Gamma (k,\theta )$	$(1-t\theta )^{-k},~\forall t<{\tfrac {1}{\theta }}$	$(1-it\theta )^{-k}$
指数(Exponential) $\operatorname {Exp} (\lambda )$	$\left(1-t\lambda ^{-1}\right)^{-1},~t<\lambda$	$\left(1-it\lambda ^{-1}\right)^{-1}$
多元正态 $N(\mathbf {\mu } ,\mathbf {\Sigma } )$	$e^{\mathbf {t} ^{\mathrm {T} }\left({\boldsymbol {\mu }}+{\frac {1}{2}}\mathbf {\Sigma t} \right)}$	$e^{\mathbf {t} ^{\mathrm {T} }\left(i{\boldsymbol {\mu }}-{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\Sigma }}\mathbf {t} \right)}$
柯西(Cauchy) $\operatorname {Cauchy} (\mu ,\theta )$	不存在	$e^{it\mu -\theta |t|}$
Multivariate Cauchy $\operatorname {MultiCauchy} (\mu ,\Sigma )$	不存在	$\!\,e^{i\mathbf {t} ^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {\mu }}-{\sqrt {\mathbf {t} ^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {\Sigma }}\mathbf {t} }}}$

参见

• 主矩
• 矩
• 阶乘矩生成函数
• 速率函数