矩陣分解

矩陣分解（decomposition, factorization）是將一個矩陣拆解為數個矩陣的乘積的運算。其依使用目的的不同，可分為幾類。

例子

在數值分析，矩陣分解常常用來實現一些矩陣運算的快速算法。

例如，當對線性方程組 $A\mathbf {x} =\mathbf {b}$ 進行求解時，矩陣A可以通過LU分解進行分解。LU分解將矩陣分解為下三角矩陣L和上三角矩陣U。相比於原方程$A\mathbf {x} =\mathbf {b}$，方程組$L(U\mathbf {x} )=\mathbf {b}$ 與$U\mathbf {x} =L^{-1}\mathbf {b}$僅需更少的相加和乘法來求解，然而在不精確的算術（如 浮點數）中可能需要更多的數字。

類似的，QR分解將矩陣A分解為兩個矩陣的乘積QR，其中Q是正交矩陣， R是上三角矩陣。方程Q(Rx) = b可以通過Rx = Q^Tb = c求解；方程Rx = c可以通過回帶求解。該方法所需的額外的加法和乘法大概是LU分解法的兩倍，但在不精確的算術中不要求額外的數字，因為QR分解是數值穩定的。

與線性方程解法相關的矩陣分解

• LU分解
• 科列斯基分解
• QR分解
• 特徵分解

基於特徵值和相關概念的分解

• 特徵分解
• 若爾當標準型
• 舒爾分解
• 奇異值分解

其他分解

• 極分解
• 矩陣的平方根

外部連結

• Online Matrix Calculator
• Springer Encyclopaedia of Mathematics » Matrix factorization （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）