線性變參數控制

線性變參數控制（LPV control）是一種用於處理線性變參數系統的控制方法。

增益規劃

在為動態系統設計反饋控制器時，人們應用了眾多種類的現代，多變量控制的控制器。通常來講，這些控制器經常設計在系統動態的不同操作點上，並且使用了線性化的模型，並且被設計為一個或者多個參數在中間狀態上的函數。這是一種可以在非線性系統上使用一類線性控制器的方法，並且這些線性控制器中每個都可以在不同的操作點上獲得令人滿意的控制效果。調度變量是一個或者多個可以觀測的變量。人們使用調度變量來確定系統當前的操作點和合適當前使用的控制器。比如在飛行器的控制中，一系列的控制器被設計在由攻角，馬赫數，動壓與重心張成網格的不同位置上。簡單來說，增益規劃是通過整合一系列線性控制器來為非線性系統設計非線性控制器的方法。這些線性系統實時的通過切換或者插值的方法混合。

對多變量的控制器進行規劃有時候是一個乏味且費時的工作。而新的方法是使用線性變參數技術來對自動規劃的多變量控制器進行整合。

經典增益規劃方法的缺點

• 增益規劃有個重大的缺點：在設計操作點外的操作條件，不一定可以獲得足夠的性能，甚至有些連穩定性都無法保證。
• 多變量控制器的規劃常常是乏味且費時的工作，尤其是在航空航天的控制中更是如此。在航空航天中，為了在更高的氣動包線上獲得更好的性能，參數的改變十分巨大。
• 另一點很重要的是，選定的規劃變數反映了在飛行條件變化時，飛行動力學上的變化，有可能利用增益規劃將線性魯棒控制的方法論整合到非線性控制設計中，不過設計過程不會明確的提到全域穩定性、魯棒性以及其性能特性。

增益規劃的方式很簡單，而且線性化增益規劃的計算量遠小於其他的非線性設計方式，不過其先天的缺點超過其優點，因此需要一個動態系統控制的新作法。像以人工神經網絡（ANN）及模糊邏輯為基礎的適應控制試圖要解決這些問題，不過因為缺乏針對整個操作參數範圍內，租定性以及性能的證明，因此需要一種可以確保其特性的，和參數相關的控制器。

線性變參數系統

線性變參數系統（LPV）是很特殊的非線性系統，其系統特性很適合用參數的變化來表示。一般而言，LPV技巧可以提供增益規劃多變數系統的系統化作法。此方式可以允許在單一架構內整合性能、強健性及帶寬限制，以下是線性變參數系統的簡介，以及其術語的說明。

參數相依系統

在控制工程中，狀態空間表示法是物理系統的數學模型，由有許多輸入$u$、輸出$y$、狀態變數$x$的一階微分方程所組成。一個非線性、非自主系統的動態演進可以由下式表示

${\dot {x}}=f(x,u,t)$

若系統是時變系統，則

${\dot {x}}=f(x(t),u(t),t),x(t_{0})$

$x(t_{0})=x_{0},u(t_{0})=u_{0}$

狀態變數描述動力系統的數學狀態，在針對大而複雜的非線性系統建模時，若因為簡化系統及實務考量而選了一些變數來描述系統狀態，模式中可能不會包括一些系統的動態。狀態空間表示方程中可能會包括一些變數（稱為外源性變數），這些變數的動態可能還不清楚，或是太複雜無法建模，但是確定這些會以一些已知的方程影響狀態變數的變化，而且可以用傳感器實時量測到這些訊號。 若實際系統使用了一些傳感器來實際量測訊號，這些訊號是模型狀態及時間的非線性函數，另外也有些外源性變數的準確估測值。因此這個系統會是一個時變的非線性系統，不知道未來時間的變化，但可以用感測器實時量測。 在此例中，若 $w(t)$ 是外源性變數向量，且$x(t)$為建模的狀態，則狀態方程可以寫成下式：

${\dot {x}}=f(x(t),w(t),{\dot {w}}(t),u(t))$

參數$w$未知，但可以實時量測，且用在控制系統中。若上述參數相依系統對時間線性，則稱為線性參數相依系統。雖然其中有時變的參數，不過仍可以寫成類似線性時不變系統的型式

${\dot {x}}=A(w(t))x(t)+B(w(t))u(t)$

$y=C(w(t))x(t)+D(w(t))u(t)$

參數相依系統是線性系統，其狀態空間描述是時變參數的已知函數。這些參數隨着時間的變化無法事先預測，但假設是在實時系統中可量測的數據。控制器受限成為一線性系統，其狀態空間的進入點和參數的歷史之間有因果關係。有三種不同的設計:線性變參數控制的方法。

1. 線性分數轉換，主要是小增益定理來找性能及強健性的範圍。
2. 單一二次李亞普諾夫函數（SQLF）
3. 參數相依二次李亞普諾夫函數（PDQLF），限制其可達到的性能水準。

這些問題的解法是重新將控制設計轉換為有限維凸函數的可行性問題（可以有準確的結果），若是無限維的可行性問題，可以用近似的方式求解。 此公式建構了一種新的增益規劃問題，此方式是考慮在確保穩定性及性能的前提下，參數變異的影響。

延伸閱讀

• Briat, Corentin. Linear Parameter-Varying and Time-Delay Systems - Analysis, Observation, Filtering & Control. Springer Verlag Heidelberg. 2015. ISBN 978-3-662-44049-0. 
• Roland, Toth. Modeling and Identification of Linear Parameter-Varying Systems. Springer Verlag Heidelberg. 2010. ISBN 978-3-642-13812-6. 
• Javad, Mohammadpour; Carsten, W. Scherer (編). Control of Linear Parameter Varying Systems with Applications. Springer Verlag New York. 2012. ISBN 978-1-4614-1833-7.