華林問題(英語:Waring's problem)是數論中的問題之一。1770年,愛德華·華林猜想,對於每個非1的正整數k,皆存在正整數g(k),使得每個正整數都可以表示為g(k)個非負整數的k次方之和。

與四平方和定理之關係

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在三世紀時,數學家丟番圖首先提出「是否每一個正整數都是四個平方數之和」的問題。1730年,歐拉開始研究該問題,但未得出證明。[1]

第一個給出完整證明的是拉格朗日,他的證明用了歐拉的一個公式:

 

後來歐拉也給出另一證明。[1]

華林猜想

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1770年,華林發表了《代數沉思錄》(Meditationes Algebraicae),其中說,每一個正整數至多是9個立方數之和;至多是19個四次方之和[1]。還猜想,每一個正整數都是可以表示成為至多r個k次之和,其中r依賴於k。

研究進展

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1909年,大衛·希爾伯特首先用複雜的方法證明了g(k)的存在性。1943年,U.V.林尼克給出了關於g(k)存在性的另一個證明。然而,儘管g(k)的存在性已被證明,人們尚且無法知曉g(k)與k之間的關係。華林自己推測g(2)=4,g(3)=9,g(4)=19。

1770年,拉格朗日證明了四平方和定理,指出g(2)=4。1909年亞瑟·韋伊費列治證明了g(3)=9。

1859年,劉維爾證明了g(4)<=53,他的想法是藉助一個恆等式(Liouville polynomial identity):

 

後來哈代李特爾伍德得到g(4)<=21, 1986年巴拉蘇布拉瑪尼安證明了g(4)=19。1896年馬力特得到g(5)<=192;1909年韋伊費列治將結果改進為g(5)<=59;1964年陳景潤證明了g(5)=37。[2]

事實上,萊昂哈德·歐拉之子J.A.歐拉猜想: (" "表示對"q"向下取整)(也就是只要看小於3k的正整數當中,最多只需要幾個k次方數的和,就可以了,例如k=4的情形,小於81的數字當中,最多的就是79,需要19個四次方數,因此有g(4)=19)至1990年,對於6<=k<=471600000此式已經被計算機驗證為正確。[3]

更強的問題

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由於g(k)的值嚴重依賴於正整數較小時的情況[來源請求],人們提出了一個更強的問題,求對於每個充分大的正整數,可使它們分解為k次方數的個數G(k)。此問題進展較慢,至今G(3)仍無法確定。

其他推廣

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華林-哥德巴赫問題

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陳述:對於任何一個正整數n,是否存在一個數k,使得每個充分大的整數都可以表示為k個質數的n次冪的和?

此問題在1938年已被華羅庚證明成立。

表法數問題

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任給一個正整數都是可以表為四個平方數之和。進一步,給定一個正整數,表示成為四個平方數的不同表示法有多少種?這問題已由雅可比給出了解答。

但是,對於立方和,四次方和等等的情況,仍然非常困難。[來源請求]

不限於正整數

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考慮用有理數的方冪和來表示正有理數。

參考資料

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  1. ^ 1.0 1.1 1.2 吳振奎. 幾個與“形數”有關的問題 (PDF). 數學傳播. 2005年3月, 29 (1): 64–74 [2015-02-15]. (原始內容存檔 (PDF)於2016-03-04). 
  2. ^ Weisstein, Eric W. (編). Waring's Problem. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英語). 
  3. ^ JM Kubina, MC Wunderlich. Extending Waring's conjecture to 471,600,000 (PDF). Mathematics of Computation. 1, (55): 815–820 [2015-02-14]. doi:10.1090/S0025-5718-1990-1035936-6. (原始內容存檔 (PDF)於2019-11-12).