覆疊空間
在拓撲學中,拓撲空間的覆疊空間是一對資料,其中是拓撲空間,是連續的滿射,並存在的一組開覆蓋
使得對每個,存在一個離散拓撲空間及同胚:,而且是對第一個坐標的投影。
滿足上述性質的稱為覆疊映射。當連通時,的基數是個常數,稱為覆疊的次數或重數。
空間的覆疊構成一個範疇,其對象形如,從到態射是連續映射,且。
例子
編輯- 考慮映射 , 。對任意 ,取其開鄰域
由此可見 是覆疊映射。
- 莫比烏斯帶的二重覆疊空間是 。
性質
編輯局部性質 對於任何一個覆疊 都是一個局部同胚,這就是說,對任意的 ,都存在一個在C中的開鄰域U,和p(c)在X中的開鄰域V,使得p在U上的限制誘導U到V上的同胚。這說明C和X在局部上的拓撲性質是一樣的。如果X是單連通的且C是連通的,則在整體上也成立,並且覆疊p變為同胚。 纖維上的同胚
萬有覆疊空間
編輯連通空間 的萬有覆疊空間(若其存在)是範疇 的初始對象 ,換言之,對每個覆疊 ,存在唯一的連續映射 使得 。萬有覆疊若存在則必唯一。之前的 便是一例。
若要求 局部道路連通且局部單連通,則萬有覆疊空間存在。這類空間的主要例子有流形和單純複形。在同樣前提下,覆疊 是萬有覆疊的充要條件是基本群 。
正則覆疊及主叢
編輯以下同樣要求 連通、局部道路連通且局部單連通。對於覆疊映射 ,選定 。在 中的自同構群 在纖維 上的作用是自由的(即: 是單射),對於 的不同選取,此作用僅差個自然的同構。
若 的作用是傳遞的,則稱 為正則覆疊。萬有覆疊必正則,反之則不然。按照纖維叢的觀點,覆疊空間正是離散纖維的纖維叢,正則覆疊對應到主叢。
文獻
編輯- Hatcher, Allen. Algebraic Topology. Cambridge University Press. 2002 [2008-05-15]. ISBN 0-521-79540-0. (原始內容存檔於2018-05-19).