覆疊空間
在拓撲學中,拓撲空間的覆疊空間是一對資料,其中是拓撲空間,是連續的滿射,並存在的一組開覆盖
使得對每個,存在一個離散拓撲空間及同胚:,而且是對第一個坐標的投影。
滿足上述性質的稱為覆疊映射。當連通時,的基數是個常數,稱為覆疊的次數或重數。
空間的覆疊構成一個範疇,其對象形如,從到態射是連續映射,且。
例子
编辑- 考慮映射 , 。對任意 ,取其開鄰域
由此可見 是覆疊映射。
- 莫比烏斯帶的二重覆疊空間是 。
性质
编辑局部性质 对于任何一个覆叠 都是一个局部同胚,这就是说,对任意的 ,都存在一个在C中的开邻域U,和p(c)在X中的开邻域V,使得p在U上的限制诱导U到V上的同胚。这说明C和X在局部上的拓扑性质是一样的。如果X是单连通的且C是连通的,则在整体上也成立,并且覆叠p变为同胚。 纤维上的同胚
萬有覆疊空間
编辑連通空間 的萬有覆疊空間(若其存在)是範疇 的初始對象 ,換言之,對每個覆疊 ,存在唯一的連續映射 使得 。萬有覆疊若存在則必唯一。之前的 便是一例。
若要求 局部道路連通且局部單連通,則萬有覆疊空間存在。這類空間的主要例子有流形和單純複形。在同樣前提下,覆疊 是萬有覆疊的充要條件是基本群 。
正則覆疊及主叢
编辑以下同樣要求 連通、局部道路連通且局部單連通。對於覆疊映射 ,選定 。在 中的自同構群 在纖維 上的作用是自由的(即: 是單射),對於 的不同選取,此作用僅差個自然的同構。
若 的作用是傳遞的,則稱 為正則覆疊。萬有覆疊必正則,反之則不然。按照纖維叢的觀點,覆疊空間正是離散纖維的纖維叢,正則覆疊對應到主叢。
文獻
编辑- Hatcher, Allen. Algebraic Topology. Cambridge University Press. 2002 [2008-05-15]. ISBN 0-521-79540-0. (原始内容存档于2018-05-19).