鄰域系

定義

$X$ 的映射 ${\mathfrak {U}}:X\to P(P(X))$ （ $P(P(X))$ 指 $X$ 的冪集的冪集）。這樣 ${\mathfrak {U}}$ 將 $X$ 的每個點 $x$ 映射至 $X$ 的子集族 ${\mathfrak {U}}(x)$ 。 ${\mathfrak {U}}(x)$ 稱為 $x$ 的鄰域系（或稱鄰域系統， ${\mathfrak {U}}(x)$ 的元素稱為 $x$ 的鄰域），若且唯若對任意的 $x\in X$ ， ${\mathfrak {U}}(x)$ 滿足如下鄰域公理：

U₁：若 $U\in {\mathfrak {U}}(x)$ ，則 $x\in U$ 。
U₂：若 $U,V\in {\mathfrak {U}}(x)$ ，則 $U\cap V\in {\mathfrak {U}}(x)$ 。（鄰域系對鄰域的有限交封閉）。
U₃：若 $U\in {\mathfrak {U}}(x)$ ， $U\subseteq V\subseteq X$ ，則 $V\in {\mathfrak {U}}(x)$ 。
U₄：若 $U\in {\mathfrak {U}}(x)$ ，則存在 $V\in {\mathfrak {U}}(x)$ ，使 $V\subseteq U$ 且對所有 $y\in V$ ，有 $V\in {\mathfrak {U}}(y)$ 。

從鄰域出發定義其它拓撲空間的基礎概念：

從鄰域定義開集： $X$ 的子集 $O$ 是開集，若且唯若對任意 $x\in O$ ，有 $O\in {\mathfrak {U}}(x)$ 。（ $O$ 是其中每個點的鄰域）。
從鄰域定義開核： $X$ 的子集 $A$ 的開核 $A^{\circ }=\{x|\exists U\in {\mathfrak {U}}(x),U\subseteq A\}$ 。
從鄰域定義閉包： $X$ 的子集 $A$ 的閉包 ${\overline {A}}=\{x|\forall U\in {\mathfrak {U}}(x),U\cap A\neq \varnothing \}$ 。

參照濾子的定義。給定點x，其鄰域系 ${\mathfrak {U}}(x)$ 恰構成了一個濾子，稱為鄰域濾子。

鄰域基

點 $x$ 的鄰域基或局部基 ${\mathcal {B}}(x)$ ，就是鄰域濾子 ${\mathfrak {U}}(x)$ 的濾子基。它是 ${\mathfrak {U}}(x)$ 的子集，滿足：每個x的鄰域 $U$ 都存在 $B\in {\mathcal {B}}(x)$ ，使 $B\subseteq U$ 。