可数集
在数学上，可数集，或称可列集，是与自然数集的某个子集具有相同基数（等势）的集合。在这个意义下，可数集由有限可数集和无限可数集组成。不是可数集的无穷集称为不可数集。这个术语是康托尔创造的。可数集的元素，正如其名，是“可以计数”的：尽管计数有可能永远无法终止，集合中每一个特定的元素都将对应一个自然数。
“可数集”这个术语有时也指代可数无穷集，即仅代表能和自然数集本身一一对应的集合[1]。两个定义的差别在于有限集合在前者中算作可数集，而在后者中不算作可数集。
定义
编辑
换句话说，一个集合要想是无限可数集，它要和自然数集 有一一对应关系。
如上所述，这个术语不普遍：一些作者在这里使用可数来表示被称为“无限可数”，并没有包括有限集。
介绍
编辑由定义易知所有偶数所构成的集合为可列的，因为我们可以将所有的 都对应到 ，如此就完成了一一对应。类似地，不难证明所有整数构成的集合 、所有有理数构成的集合 、甚至所有代数数构成的集合都是可列的。
并非所有的无穷集都可数。乔治·康托首先指出存在有不可列的无穷集合。他利用他发明的对角论证法证明了由所有实数构成的集合 是不可列的，即 与 之间不可能存在一种一一对应。这同时也表示实数当中存在有一些数不是代数数，因为刚才已经说过代数数是可列的；于是这就给出了一种超越数存在的非构造性证明。
正规定义和性质
编辑由定义，如果存在从 到自然数集合 存在单射函数 ，则 称为可数集。
这似乎自然地把集合划分为不同类别：把所有包含一个元素的集合放在一起；包含两个元素的集合在一起......最后，把所有无限集合放在一起，并认为它们具有相同的大小。然而，在大小的自然定义下，这种观点是不确切的。
为了阐述这一点，我们需要一个双射的概念。虽然双射看起来比数更加高深，但原本数学发展中集论定义函数要先于数字。因为它们都是基于更简单的集合。这就引出了双射的概念：
由于 的每个元素都可以和 中准确的一个配对，并且反过来也同样，这就定义了一个双射。
我们将这个情境一般化，定义当且仅当它们之间存在双射，两个集合的大小相同。对于有限集，这里给出了“大小相同”的常用定义。那么对于无限集呢？
考虑集合 （正整数集），和 （正偶数集）。我们说，在我们的定义下，这些集合有相同的大小，并且因此B是无限可数集。我们需要证明它们之间存在双射。但这是很简单的，运用 ，那么
正如前面的例子， 的每个元素都已和 中准确的一个配对，并且反过来也同样。因而它们大小相同。这给出了一个集合与其一个合适的子集大小相同的例子，这种情形在有限集中是不可能的。
同样，自然数的有序对的集合，也就是自然数集合的笛卡尔积 ，是无限可数集，可以沿着图中的一种路径：
配对结果就像这样：
显然这个映射可以覆盖所有这些有序对。另一个证明方法是可以定义一个从自然数集合的笛卡尔积 到自然数集合 的单射函数 。
利用数学归纳法，可知在n是个有限的自然数时，自然数集合的n-元笛卡尔积 是可数的。利用自然数集的笛卡尔积是可数的这点，可以证明整数集和有理数集是可数集，这是因为整数可以视为自然数的有序对（可将正整数 给视为 ，将负整数 给视为 ），而以最简分数形式表示的有理数 也可视为整数的有序对 所致。
另外，可数无限多个可数集的并集是可数的，这是因为可以定义一个单射函数，将可数无限多个可数集的并集给映至自然数集合的笛卡尔积 之故。
不过可数无限多个自然数集合的笛卡尔积不是可数的，这可以透过康托的对角论证法证明。
参见
编辑注解
编辑- ^ 例子参见(Rudin 1976，Chapter 2)
- ^ 参见(Lang 1993，§2 of Chapter I).
- ^ 参见(Apostol 1969，Chapter 13.19).
- ^ 因为显然N和N* = {1, 2, 3, ...}之间显然存在双射，无所谓是否把0算作自然数。在任何情况，这篇文章都遵循ISO 31-11和数学逻辑中的标准传统，将0作为自然数。
参考资料
编辑- Lang, Serge, Real and Functional Analysis, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1993, ISBN 0-387-94001-4
- Rudin, Walter, Principles of Mathematical Analysis, New York: McGraw-Hill, 1976, ISBN 0-07-054235-X