拐点

提示：此条目页的主题不是驻点、滞点或临界点。

拐点（英语：Inflection point）或称反曲点，是一条连续曲线由凸转凹，或由凹转凸的点，或者等价地说，是使切线穿越曲线的点。

y=x³的函数图形，原点是其拐点

反正切函数的拐点

决定曲线的拐点有助于理解曲线的外形，这在描绘曲线图形时特别有用。

定义

若曲线图形在一点由凸转凹，或由凹转凸，则称此点为拐点。直观地说，拐点是使切线穿越曲线的点。

若该曲线图形的函数在某点的二阶导数为零或不存在，且二阶导数在该点两侧符号相反，该点即为函数的拐点。这是寻找拐点时最实用的方法之一。

拐点的必要条件

拐点的必要条件：设$f(x)$在$(a,b)$内二阶可导，$x_{0}\in (a,b)$，若$(x_{0},f(x_{0}))$是曲线$y=f(x)$的一个拐点，则$f''(x_{0})=0$。 比如，$f(x)=x^{4}$，有$f''(0)=0$，但是0两侧全是凸，所以0不是函数$f(x)=x^{4}$的拐点。

拐点的充分条件：设$f(x)$在$(a,b)$内二阶可导，$f''(x_{0})=0$，若在$x_{0}$两侧附近$f''(x)$异号，则点$(x_{0},f(x_{0}))$为曲线的拐点。否则（即$f''(x_{0})$保持同号），$(x_{0},f(x_{0}))$不是拐点。

分类

拐点可以根据$f'(x)$为零或不为零，进行分类：

• 如果$f'(x)$为零，此点为拐点的驻点，简称为鞍点。
• 如果$f'(x)$不为零，此点为拐点的非驻点。

例如：$y=x^{3}$的点$(0,0)$是一个鞍点，切线为$x$轴，切线正好将图像分为两半。

参数曲线的拐点

平面参数曲线的拐点是使其曲率变号的点，此时曲率中心（居于曲线凹侧）从曲线的一侧换至另一侧。

双正则点与拐点

双正则点是使得参数曲线的一阶与二阶微分（它们是向量）线性无关的点。在双正则点上，曲线既无拐点亦非直线。在非双正则点上曲率为零，但是不一定有变号。在寻找参数曲线的拐点时，我们通常先以微分找出非双正则点，继之研究其局部性状，以判定是否为拐点。

注：某些作者偏好将拐点定义为“使一阶与二阶微分平行的点”，在此定义下，切线不一定在该点穿越曲线本身。

代数曲线的拐点

设$C$为域$F$上的平面代数曲线，其拐点定义为一平滑点$P\in C(F)$，使得该点切线$L_{P}$与$C$在$P$点的相交重数$\geq 3$。

注意到一条曲线与$C$在$P$点相切的充要条件是相交重数$\geq 2$。当$F=\mathbb {R}$时，代数曲线的拐点定义等价于上节注记中的广义定义。

参见

• 驻点
• 鞍点
• 极值

文献

• Robin Hartshorne (1997). Algebraic Geometry. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90244-9.