拐点
拐點(英語:Inflection point)或稱反曲点,是一條连续曲線由凸轉凹,或由凹轉凸的點,或者等價地說,是使切線穿越曲線的點。
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/56/X_cubed_%28narrow%29.svg/220px-X_cubed_%28narrow%29.svg.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/99/Point_inflexion_arctan.png/220px-Point_inflexion_arctan.png)
決定曲線的拐點有助於理解曲線的外形,這在描繪曲線圖形時特別有用。
定義
编辑若曲線圖形在一點由凸轉凹,或由凹轉凸,則稱此點為拐點。直觀地說,拐點是使切線穿越曲線的點。
若該曲線圖形的函數在某点的二阶導數為零或不存在,且二阶导数在该点两侧符号相反,该点即为函数的拐点。這是尋找拐點時最實用的方法之一。
拐点的必要条件
编辑拐点的必要条件:设 在 内二阶可导, ,若 是曲线 的一个拐点,则 。 比如, ,有 ,但是0两侧全是凸,所以0不是函数 的拐点。
拐点的充分条件:设 在 内二阶可导, ,若在 两侧附近 异号,则点 为曲线的拐点。否则(即 保持同号), 不是拐点。
分類
编辑拐點可以根據 為零或不為零,進行分類:
例如: 的點 是一個鞍點,切線為 軸,切線正好將圖像分為兩半。
參數曲線的拐點
编辑平面參數曲線的拐點是使其曲率變號的點,此時曲率中心(居於曲線凹側)從曲線的一側換至另一側。
雙正則點與拐點
编辑雙正則點是使得參數曲線的一階與二階微分(它們是向量)線性獨立的點。在雙正則點上,曲線既無拐點亦非直線。在非雙正則點上曲率為零,但是不一定有變號。在尋找參數曲線的拐點時,我們通常先以微分找出非雙正則點,繼之研究其局部性狀,以判定是否為拐點。
註:某些作者偏好將拐點定義為「使一階與二階微分平行的點」,在此定義下,切線不一定在該點穿越曲線本身。
代數曲線的拐點
编辑設 為域 上的平面代數曲線,其拐點定義為一平滑點 ,使得該點切線 與 在 點的相交重數 。
注意到一條曲線與 在 點相切的充要條件是相交重數 。當 時,代數曲線的拐點定義等價於上節註記中的廣義定義。
参见
编辑文獻
编辑- Robin Hartshorne (1997). Algebraic Geometry. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90244-9.