线性子空间

线性子空间（或向量子空间）在线性代数和相关的数学领域中是重要的。在没有混淆于其他子空间的时候通常简称为“子空间”。

定义

在线性代数和其他数学相关领域，一个线性子空间（或向量子空间）U是给定域 ${\mathfrak {R}}$ 向量空间V的一个子集，并且它还是V的加法子群，同时，在纯量乘下回到自身，那么，V上运算在U上的限制导出U的向量空间结构，我们把U称为V上的向量（或线性）子空间。

设 V 是在域 K 上的向量空间，并设 W 是 V 的子集。则当且仅当它满足下列三个条件时，W 是个子空间:

对于所有向量空间 V，集合 {0} 和 V 自身是 V 的子空间。
如果 V 是内积空间，则任何 V 的子空间的正交补也是子空间。
任意多个向量子空间的交集仍然是向量子空间。注意：两个子空间的并集未必是子空间。例如 $e_{1},e_{2}$ 是V中任意两个线性无关的向量且 $U_{1}=<e_{1}>,U_{2}=<e_{2}>$ ，那么， $U_{1}$ ∪ $U_{2}$ 不包含 $e_{1}+e_{2}$ 。
特征化子空间的一种方式它们闭合在线性组合下。就是说，W 是子空间，当且仅当所有 W 的(有限多个)元素的线性组合也属于 W。子空间的定理中条件 2 和 3 是最基本的线性组合。

例子 I: 设域 K 是实数的集合 R，并设向量空间 V 是欧几里得空间 R³。取 W 为最后的分量是 0 的 V 中所有向量的集合。则 W 是 V 的子空间。

证明:

给定 W 中 u 和 v，它们可以表达为 u = (u₁,u₂,0) 和 v = (v₁,v₂,0)。则 u + v = (u₁+v₁,u₂+v₂,0+0) = (u₁+v₁,u₂+v₂,0)。因此 u + v 也是 W 的元素。
给定 W 中 u 和 R 中标量 c，如果 u = (u₁,u₂,0)，则 cu = (cu₁, cu₂, c0) = (cu₁,cu₂,0)。因此 cu 也是 W 的元素。

例子 II: 设域是 R，设向量空间是欧几里得几何 R²。取 W 为 R² 的使得 x = y 的所有点 (x,y) 的集合。则 W 是 R² 的子空间。

证明:

设 p = (p₁,p₂) 且 q = (q₁,q₂) 是 W 的元素，就是说，在平面上的点使得 p₁ = p₂ 且 q₁ = q₂。则 p + q = (p₁+q₁,p₂+q₂)；因为 p₁ = p₂ 且 q₁ = q₂，则 p₁ + q₁ = p₂ + q₂，所以 p + q 是 W 的元素。
设 p = (p₁,p₂) 是 W 的元素，就是在平面中点使得 p₁ = p₂，并设 c 是 R 中的标量。则 cp = (cp₁,cp₂)；因为 p₁ = p₂，则 cp₁ = cp₂，所以 cp 是 W 的元素。

一般的说，欧几里得空间 Rⁿ 的定义自齐次线性方程的任何子集都生成子空间。在几何上说，这些子空间是穿过点0的一些点、直线、平面。

给定向量空间V的子空间 U 和 W，则它们的交集 U ∩ W := {v∈V: v ∈ U 且 v ∈ W} 也是 V 的子空间。

证明:

设 v 和 w 是 U ∩ W 的元素。则 v 和 w 属于 U 和 W 二者。因为 U 是子空间，则 v + w 属于 U。类似的，因为 W 是子空间，则 v + w 属于 W。所以 v + w 属于 U ∩ W。
设 v 属于 U ∩ W，并设 c 是标量。则 v 属于 U 和 W 二者。因为 U 和 W 是子空间，cv 属于 U 和 W 二者。

进一步的，和

U+W=\{\mathbf {u} +\mathbf {w} :\mathbf {u} \in U{\mbox{ and }}\mathbf {w} \in W\}

是一个 V 的子空间。U ∩ W 和 U + W 的维度满足

\dim(U\cap W)+\dim(U+W)=\dim U+\dim W

。