線性子空間

線性子空間（或向量子空間）在線性代數和相關的數學領域中是重要的。在沒有混淆於其他子空間的時候通常簡稱為「子空間」。

定義

在線性代數和其他數學相關領域，一個線性子空間（或向量子空間）U是給定域 ${\mathfrak {R}}$ 向量空間V的一個子集，並且它還是V的加法子群，同時，在純量乘下回到自身，那麼，V上運算在U上的限制導出U的向量空間結構，我們把U稱為V上的向量（或線性）子空間。

設 V 是在域 K 上的向量空間，並設 W 是 V 的子集。則若且唯若它滿足下列三個條件時，W 是個子空間:

對於所有向量空間 V，集合 {0} 和 V 自身是 V 的子空間。
如果 V 是內積空間，則任何 V 的子空間的正交補也是子空間。
任意多個向量子空間的交集仍然是向量子空間。注意：兩個子空間的併集未必是子空間。例如 $e_{1},e_{2}$ 是V中任意兩個線性無關的向量且 $U_{1}=<e_{1}>,U_{2}=<e_{2}>$ ，那麼， $U_{1}$ ∪ $U_{2}$ 不包含 $e_{1}+e_{2}$ 。
特徵化子空間的一種方式它們閉合在線性組合下。就是說，W 是子空間，若且唯若所有 W 的(有限多個)元素的線性組合也屬於 W。子空間的定理中條件 2 和 3 是最基本的線性組合。

例子 I: 設域 K 是實數的集合 R，並設向量空間 V 是歐幾里得空間 R³。取 W 為最後的分量是 0 的 V 中所有向量的集合。則 W 是 V 的子空間。

證明:

給定 W 中 u 和 v，它們可以表達為 u = (u₁,u₂,0) 和 v = (v₁,v₂,0)。則 u + v = (u₁+v₁,u₂+v₂,0+0) = (u₁+v₁,u₂+v₂,0)。因此 u + v 也是 W 的元素。
給定 W 中 u 和 R 中純量 c，如果 u = (u₁,u₂,0)，則 cu = (cu₁, cu₂, c0) = (cu₁,cu₂,0)。因此 cu 也是 W 的元素。

例子 II: 設域是 R，設向量空間是歐幾里得幾何 R²。取 W 為 R² 的使得 x = y 的所有點 (x,y) 的集合。則 W 是 R² 的子空間。

證明:

設 p = (p₁,p₂) 且 q = (q₁,q₂) 是 W 的元素，就是說，在平面上的點使得 p₁ = p₂ 且 q₁ = q₂。則 p + q = (p₁+q₁,p₂+q₂)；因為 p₁ = p₂ 且 q₁ = q₂，則 p₁ + q₁ = p₂ + q₂，所以 p + q 是 W 的元素。
設 p = (p₁,p₂) 是 W 的元素，就是在平面中點使得 p₁ = p₂，並設 c 是 R 中的純量。則 cp = (cp₁,cp₂)；因為 p₁ = p₂，則 cp₁ = cp₂，所以 cp 是 W 的元素。

一般的說，歐幾里得空間 Rⁿ 的定義自齊次線性方程的任何子集都生成子空間。在幾何上說，這些子空間是穿過點0的一些點、直線、平面。

給定向量空間V的子空間 U 和 W，則它們的交集 U ∩ W := {v∈V: v ∈ U 且 v ∈ W} 也是 V 的子空間。

證明:

設 v 和 w 是 U ∩ W 的元素。則 v 和 w 屬於 U 和 W 二者。因為 U 是子空間，則 v + w 屬於 U。類似的，因為 W 是子空間，則 v + w 屬於 W。所以 v + w 屬於 U ∩ W。
設 v 屬於 U ∩ W，並設 c 是純量。則 v 屬於 U 和 W 二者。因為 U 和 W 是子空間，cv 屬於 U 和 W 二者。

進一步的，和

U+W=\{\mathbf {u} +\mathbf {w} :\mathbf {u} \in U{\mbox{ and }}\mathbf {w} \in W\}

是一個 V 的子空間。U ∩ W 和 U + W 的維度滿足

\dim(U\cap W)+\dim(U+W)=\dim U+\dim W

。