量子统计力学

量子统计力学是应用于量子力学系统的统计力学。量子力学中,统计系综(可能量子态的概率分布)由密度算子S描述,其是描述量子系统的希尔伯特空间H上的迹为1的非负自伴迹类算子。这可以用量子力学的数学表述来证明,其中一种形式来自量子逻辑

期望

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经典概率论中,随机变量X期望值由其概率分布 定义:

 

假定随机变量可积或非负。同样,令A是量子力学系统的可观察量,由稠密定义在H上的自伴算子给出,则其谱测度的定义为

 

这唯一确定了A,反之亦然:也由A唯一确定。 是从R的博雷尔子集到H的自伴射影格Q的布尔同态。与概率论类似,给定状态S,我们引入AS下的分布,其是R的博雷尔子集上定义的概率测度:

 

同样,由概率分布 A的期望定义如下:

 

注意这期望是对混合状态S而言,用于 的定义。

备注. 出于技术原因,需要分别考虑无界算子的博雷尔泛函微积分所定义的A的正负部。

很容易证明:

 

注意,若S是对应于向量 纯态,则:

 

算符A的迹可写作:

 

冯诺依曼熵

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在描述状态的随机性时,S的冯诺依曼熵具有特别重要的意义,其正式定义是

 .

实际上,算子 不一定是迹类算子;若S是非负自伴非迹类算子,则定义 。另外注意,密度算子S都可对角化,即在某个正交基上可表为(可能是无限)矩阵,形式为

 

我们定义

 

按惯例, ,因为概率为零的事件对熵不应有贡献。这个值在扩展实数(即在[0, ∞]中),显然是S的酉不变量。

备注. 对某个密度算子S 确实是可能的。事实上T是对角矩阵

 

T是非负迹类算子,可证明 不是迹类算子。

定理. 熵是酉不变量。

与经典类似(注意定义的相似性),H(S)度量了状态S的随机性。特征值越分散,系统熵就越大。对于空间H有限维的系统,状态S具有下列对角形式的表示时,熵最大:

 

对这样的S 。状态S称作最大混合态。

纯态的形式是

 

其中ψ是范数为1的向量。

定理. H(S) = 0,当且仅当S是纯态。

S是纯态,当且仅当其对角形式恰有1个非零项且为1。

熵可用作量子纠缠的度量。

吉布斯正则系综

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考虑平均能量E的哈密顿量H描述的系统系综。若H具有纯点谱,且H的特征值 发散得够快,则对正数r,er H都是非负迹类算子。

吉布斯正则系综由以下状态描述

 

其中β使能量的系综平均满足

 

 

这就是所谓偏函数,是经典统计力学的正则配分函数在量子力学中的推广。系综中随机选取的系统处于与能量特征值 对应的状态的概率为

 

特定条件下(且满足能量守恒),吉布斯正则系综最大化了冯诺依曼熵。

巨正则系综

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粒子能量与数量可能波动的开放系统,由巨正则系综描述,其密度矩阵为

 

其中N1, N2, ...是与热库交换的不同种类粒子的粒子数算子。注意与正则系综相比,这个密度矩阵包含更多状态(不同的N)。

巨配分函数为

 

另见

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参考文献

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  • J. von Neumann, Mathematical Foundations of Quantum Mechanics, Princeton University Press, 1955.
  • F. Reif, Statistical and Thermal Physics, McGraw-Hill, 1965.