如果从集合 对自己的笛卡儿积 (也就是 )取出的任意 ,都会对应 的某个值 ,那对应规则 的本身就被称为二元运算。
通常写为 ,而且比起使用字母,二元运算时常以某种运算符表示,来跟普通的函数作区别。
事实上 这个记号本身就保证了:“只要 就会有 ”,这个性质也称为(二元)运算封闭性。
关于二元运算有很多常见的性质和术语,列举如下:
设 是集合 上的二元运算, ,则:
- 称 为一个 的左幺元,若 满足: ;
- 称 为一个 的右幺元,若 满足: ;
- 称 为 的幺元,若 既是左幺元、又是右幺元。
设 是集合 上带有单位元 的二元运算, 。则:
- 称 是一个 的左逆元,若 满足: 。
- 称 是一个 的右逆元,若 满足: 。
- 称 是 的逆元,若 既是 的左逆元、又是 的右逆元。这种情况下 常被写作 或 。
设 是集合 上的二元运算, ,则:
- 称 为一个左零元,若 满足: ;
- 称 为一个右零元,若 满足: ;
- 称 为零元,若 既是左零元、又是右零元。
设 是集合 上的带有零元 的二元运算, 且 。则:
- 称 是一个左零因子,若 满足: ,使得 。
- 称 是一个右零因子,若 满足: ,使得 。
- 称 是一个零因子,若 既是左零因子、又是右零因子。
设 是集合 上的二元运算,则:
称 满足交换律,若: ;
设 是集合 上的二元运算,则:
称 满足结合律,若: ;
设 : 是集合 上的二元运算,则:
称 满足左消去律,若 满足:
称 满足右消去律,若 满足:
称 满足消去律,若 同时满足左消去律与右消去律。
设 : 是集合 上的二元运算,则:
称 满足幂等律,若 满足: ;
设 : 是集合 上的二元运算,i是 在 下的幺元,
则:称 满足幂幺律,若 满足: (显然此时每个元素都是它自己的逆元);
设 : 是集合 上的二元运算,z是 在 下的零元,
则:称 满足幂零律,若 满足: ,有 (显然此时每个元素都是零元,而且既是左零元又是右零元);
设 : 和 : 是集合 上的两个二元运算,则:
- 称 对 满足左分配律,若 , 满足: ,有 ;
- 称 对 满足右分配律,若 , 满足: ,有 ;
- 称 对 满足分配律,若 对 同时满足左分配律和右分配律。