如果從集合 對自己的笛卡兒積 (也就是 )取出的任意 ,都會對應 的某個值 ,那對應規則 的本身就被稱為二元運算。
通常寫為 ,而且比起使用字母,二元運算時常以某種運算符表示,來跟普通的函數作區別。
事實上 這個記號本身就保證了:「只要 就會有 」,這個性質也稱為(二元)運算封閉性。
關於二元運算有很多常見的性質和術語,列舉如下:
設 是集合 上的二元運算, ,則:
- 稱 為一個 的左單位元素,若 滿足: ;
- 稱 為一個 的右單位元素,若 滿足: ;
- 稱 為 的單位元素,若 既是左單位元素、又是右單位元素。
設 是集合 上帶有單位元素 的二元運算, 。則:
- 稱 是一個 的左反元素,若 滿足: 。
- 稱 是一個 的右反元素,若 滿足: 。
- 稱 是 的反元素,若 既是 的左反元素、又是 的右反元素。這種情況下 常被寫作 或 。
設 是集合 上的二元運算, ,則:
- 稱 為一個左零元素,若 滿足: ;
- 稱 為一個右零元素,若 滿足: ;
- 稱 為零元素,若 既是左零元素、又是右零元素。
設 是集合 上的帶有零元素 的二元運算, 且 。則:
- 稱 是一個左零因子,若 滿足: ,使得 。
- 稱 是一個右零因子,若 滿足: ,使得 。
- 稱 是一個零因子,若 既是左零因子、又是右零因子。
設 是集合 上的二元運算,則:
稱 滿足交換律,若: ;
設 解析失败 (SVG(MathML可通过浏览器插件启用):从服务器“http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/”返回无效的响应(“Math extension cannot connect to Restbase.”):): {\displaystyle \circ : A\times A \to A}
是集合 上的二元運算,則:
稱 滿足結合律,若: ;
設 : 是集合 上的二元運算,則:
稱 滿足左消去律,若 滿足:
稱 滿足右消去律,若 滿足:
稱 滿足消去律,若 同時滿足左消去律與右消去律。
設 : 是集合 上的二元運算,則:
稱 滿足冪等律,若 滿足: ;
設 : 是集合 上的二元運算,i是 在 下的單位元素,
則:稱 滿足冪么律,若 滿足: (顯然此時每個元素都是它自己的反元素);
設 : 是集合 上的二元運算,z是 在 下的零元素,
則:稱 滿足冪零律,若 滿足: ,有 (顯然此時每個元素都是零元素,而且既是左零元素又是右零元素);
設 : 和 : 是集合 上的兩個二元運算,則:
- 稱 對 滿足左分配律,若 , 滿足: ,有 ;
- 稱 對 滿足右分配律,若 , 滿足: ,有 ;
- 稱 對 滿足分配律,若 對 同時滿足左分配律和右分配律。