同调代数中,五引理是关于交换图的一个重要引理。五引理可以被视为两个相对偶的四引理之组合。此结果不只对阿贝尔范畴成立,也对范畴成立。

陈述

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在任一阿贝尔范畴(例如阿贝尔群的范畴)或范畴中,考虑以下的交换图:

 

五引理的叙述是:如果横列正合  是同构,  是满射而   是单射,则   是同构。

两个四引理的叙述是:

(1) 考虑交换图  

若其横行正合,  是满射而   是单射,则   是满射。

(2) 考虑交换图  

若其横行正合,  是单射而   是满射,则   是单射。

证明

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以下采用的证法俗称“图追踪”,它看似繁复,其实习惯后只是例行程序罢了。

为进行图追踪,以下假设所论范畴为某个上的范畴,因此可以谈论对象的元素,并将态射视为模的同态。此时单射、满射等等性质相应于集合论意义上的性质。根据Mitchell嵌入定理,可导出一般范畴上的情形。

对于群范畴,仅须注意到证明内容未用到群的交换性。

 

  1.  
  2. 由于   是满射,存在   使得  
  3. 根据图的交换性, 
  4. 根据正合性,  ,故  
  5. 因为   是单射, ,故  
  6. 于是存在   使得  
  7. 遂有  。因为   是同态,有  
  8. 根据正合性, ,故存在   使得  
  9. 因为   是满射,存在   使得  
  10. 根据图的交换性  
  11. 因为   是同态, 
  12. 由此可知   是满射。证毕。

为证明 (2),在下图中假设    是单射,而   是满射。

 

  1.   使得  
  2. 于是  
  3. 根据图的交换性, 
  4. 因为   是单射, 
  5. 根据正合性,存在   使得  
  6. 根据图的交换性, 
  7. 根据正合性,存在   使得  
  8. 因为   是满射,存在   使得  
  9. 根据图的交换性, 
  10. 因为   是单射, 
  11.  
  12. 由此可知   是单射。证毕。

结合两个四引理,便可证得五引理。

应用

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五引理通常用于长正合序列:在计算一个对象的同调上同调群时,我们通常利用一个较简单的子对象,其同调或上同调已知,再配合长正合序列进行计算。长正合序列本身不一定能确定所求的同调或上同调,此时可以试着以态射比较原对象与一个已知的对象,此态射导出长正合序列的链映射,此时五引理有助于决定未知的同调或上同调群。

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