同伦范畴

在数学的拓扑学领域中，同伦范畴是处理同伦问题时格外便利的范畴论语言。它的对象是拓扑空间，态射是连续函数的同伦类，这是商范畴的一个例子；由于同伦关系在映射的合成下不变，同伦范畴的定义是明确的。所有拓扑空间构成的同伦范畴通常记为 $\mathbf {hTop}$ 或 $\mathbf {Toph}$；有时也会考虑较小一类的空间，例如紧生成豪斯多夫空间或CW复形。

两空间在同伦范畴中同构的充要条件是它们同伦等价。

设 $X,Y$ 为拓扑空间，它们在同伦范畴中的态射集记为 $[X,Y]$。同伦理论的基本课题之一便是研究 $[X,Y]$，例如当 $X,Y$ 是球面时，$[X,Y]$ 的计算就归结到同伦群的计算。

基点

在应用上，我们常须考虑空间中的特定一点，称为该空间的基点。指定了基点的拓扑空间称为带基点的空间。严格而言，同伦群（例如基本群）的定义依赖于基点，不同的选择会差一个同构。

我们可以考虑带点空间构成的范畴，其对象为 $(X,x)$（$x\in X$），态射 $f:(X,x)\to (Y,y)$ 为满足 $f(x)=y$ 的连续映射。同理，可以定义带点映射之间的同伦 $h:X\times I\to Y$ 为满足 $h(x,t)=y$ 的同伦。由此得到的商范畴称为带点同伦范畴，常记为 $\mathbf {hTop} _{\bullet }$，态射集记为 $[X,Y]_{\bullet }$。

在处理带基点的空间时，空间的积与不交并都要作相应的改变。

同伦理论

同伦理论中有一些适用于所有空间的一般结果，但随着理论渐深，往往需要考虑更小的一类空间。CW复形适用于大部分的问题，它的好处之一体现于布朗表示定理，缺陷则在于CW复形之间的函数空间不一定是CW复形，针对后者，紧生成豪斯多夫空间更富弹性，它包括了所有CW复形、局部紧空间与第一可数空间（例如度量空间）。

近来同伦理论发展的一个里程碑是谱空间，这可以说是一种适用于拓扑学的导范畴观念。以模型范畴的方法也可以定义谱，这推广了拓扑空间的情形，但较为抽象。

文献

• J. P. May, A Concise Course in Algebraic Topology (1999), The University of Chicago Press. ISBN 0-226-51183-9