数学中,同伦群拓扑空间的一种同伦不变量。同伦群的研究是同伦理论的基石之一,一般空间的同伦群极难计算,即使对球面 的情形,至今也没有完整结果。

定义

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  为拓扑空间而   球面。选定基点  。定义   ,也就是由保持基点的连续映射  同伦类构成的集合。为了方便起见,以纬垂坐标表示球面上的点,即:  表示   在商映射   下的像。取   的基点为  


注意到当   时,   的元素一一对应到   的连通分支。

 
基本群的群运算

对于    带有自然的群结构:首先,我们构造一个连续映射:

 

在此   定义为将两份   沿基点黏合得到的拓扑空间。映射   定义为

 

直观来看,  的效应相当于将球面   沿赤道掐扁。

给定  ,我们定义  ,由于  ,此函数有完善的定义。此外也不难验证   仅依赖于   的同伦类。

可以证明运算   满足公理,其单位元素为常值映射    不外就是基本群;而当   时, 阿贝尔群,称为高阶同伦群。不同基点对应的同伦群只差一个自然同构。

若在定义中省掉基点,则得到的集合   等同于    作用下的轨道集。可见若    未必有自然的群结构。

纤维化导出长正合序列

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  为保基点的塞尔纤维化,纤维的同伦类定义为  。此时可导出同伦群的长正合序列(以下略去基点):

 

尽管这里的   只是个集合,而   未必是阿贝尔群,它们仍带有特殊的元素(  的单位元、  中包含基点的连通分支),可以用这些元素定义正合序列。

纤维化映射是计算高阶同伦群的基本手段。

相对同伦群

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给定  ,可以定义相对同伦群   为映射   的同伦类,这意味着我们仅考虑满足   的连续映射,以及其间满足相同限制的同伦。若取   为一点,便回到同伦群的原始定义。相对同伦群也有纤维化长正合序列。

文献

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