布里渊函数和郎之万函数

布里渊函数和郎之万函数（Brillouin and Langevin functions）是理想顺磁性材料研究中的一对特殊函数。

布里渊函数

布里渊函数形式为：

$B_{J}(x)={\frac {2J+1}{2J}}\coth \left({\frac {2J+1}{2J}}x\right)-{\frac {1}{2J}}\coth \left({\frac {1}{2J}}x\right)$

其中，$x$ 为实数，$J$ 为正整数或半整数，函数的值域为从-1（$x\to -\infty$）到1（$x\to +\infty$）。

布里渊函数是计算理想顺磁体的磁化强度时引入的。它描述了磁化强度$M$ 与外加 磁场 $B$ 、材料微观磁矩的 总角动量量子数 J之间的关系。磁化强度由下式给出：

$M=Ng\mu _{B}J\cdot B_{J}(x)$

其中，$N$ 单位体积内原子的数目，$g$ 为g因数，$\mu _{B}$为玻尔磁子，$x$ 为外场中磁矩的塞曼能与无规热能 $k_{B}T$之比：

$x={\frac {g\mu _{B}JB}{k_{B}T}}$

其中，$k_{B}$ 为 波尔兹曼常数， $T$ 为绝对温度。

郎之万函数

郎之万函数 (红线) 与 $\tanh(x/3)$ (蓝线)。

在经典极限，磁矩可以连续地沿外场取向，$J\to \infty$，布里渊函数可以化简为郎之万函数，形式为：

$L(x)=\coth(x)-{\frac {1}{x}}$

在高分子物理学中，受外力拉伸的理想高分子链的平均末端距也用郎之万方程描述：

$<R>=bN\left(\coth(fb/k_{B}T)-{\frac {1}{fb/k_{B}T}}\right)$

其中，$b$为 库恩长度，$N$为高分子链长，$f$为施加在链末端的外力。

当x为小量时，郎之万函数可由其截断的泰勒级数近似：

$L(x)={\tfrac {1}{3}}x-{\tfrac {1}{45}}x^{3}+{\tfrac {2}{945}}x^{5}-{\tfrac {1}{4725}}x^{7}+\dots$

郎之万函数还可以由以下连分式近似：

$L(x)={\frac {x}{3+{\tfrac {x^{2}}{5+{\tfrac {x^{2}}{7+{\tfrac {x^{2}}{9+\ldots }}}}}}}}$

郎之万函数的逆函数可由下式近似：

$L^{-1}(x)\approx x{\frac {3-x^{2}}{1-x^{2}}},$

其中，x的取值范围为(-1, 1)。

当x比较小时，一个更好的近似为：

$L^{-1}(x)=3x{\frac {35-12x^{2}}{35-33x^{2}}}+O(x^{7})$

郎之万逆函数的泰勒级数为：

$L^{-1}(x)=3x+{\tfrac {9}{5}}x^{3}+{\tfrac {297}{175}}x^{5}+{\tfrac {1539}{875}}x^{7}+\dots$

高温极限

当 $x\ll 1$ 时，即$\mu _{B}B/k_{B}T$ 很小，磁矩可以由居里定律近似：

$M=C\cdot {\frac {B}{T}}$

其中 $C={\frac {Ng^{2}J(J+1)\mu _{B}^{2}}{3k_{B}}}$ 为常数， $g{\sqrt {J(J+1)}}$ 为有效波尔磁子数目。

强场极限

当 $x\to \infty$，布里渊函数的值趋于 1，材料的磁化强度饱和，磁矩的取向完全沿外场方向，于是有

$M=Ng\mu _{B}J$