布里淵函數和郎之萬函數

布里淵函數和郎之萬函數（Brillouin and Langevin functions）是理想順磁性材料研究中的一對特殊函數。

布里淵函數

布里淵函數形式為：

$B_{J}(x)={\frac {2J+1}{2J}}\coth \left({\frac {2J+1}{2J}}x\right)-{\frac {1}{2J}}\coth \left({\frac {1}{2J}}x\right)$

其中，$x$ 為實數，$J$ 為正整數或半整數，函數的值域為從-1（$x\to -\infty$）到1（$x\to +\infty$）。

布里淵函數是計算理想順磁體的磁化強度時引入的。它描述了磁化強度$M$ 與外加 磁場 $B$ 、材料微觀磁矩的 總角動量量子數 J之間的關係。磁化強度由下式給出：

$M=Ng\mu _{B}J\cdot B_{J}(x)$

其中，$N$ 單位體積內原子的數目，$g$ 為g因數，$\mu _{B}$為玻爾磁子，$x$ 為外場中磁矩的塞曼能與無規熱能 $k_{B}T$之比：

$x={\frac {g\mu _{B}JB}{k_{B}T}}$

其中，$k_{B}$ 為 波爾茲曼常數， $T$ 為絕對溫度。

郎之萬函數

郎之萬函數 (紅線) 與 $\tanh(x/3)$ (藍線)。

在經典極限，磁矩可以連續地沿外場取向，$J\to \infty$，布里淵函數可以化簡為郎之萬函數，形式為：

$L(x)=\coth(x)-{\frac {1}{x}}$

在高分子物理學中，受外力拉伸的理想高分子鏈的平均末端距也用郎之萬方程描述：

$<R>=bN\left(\coth(fb/k_{B}T)-{\frac {1}{fb/k_{B}T}}\right)$

其中，$b$為 庫恩長度，$N$為高分子鏈長，$f$為施加在鏈末端的外力。

當x為小量時，郎之萬函數可由其截斷的泰勒級數近似：

$L(x)={\tfrac {1}{3}}x-{\tfrac {1}{45}}x^{3}+{\tfrac {2}{945}}x^{5}-{\tfrac {1}{4725}}x^{7}+\dots$

郎之萬函數還可以由以下連分式近似：

$L(x)={\frac {x}{3+{\tfrac {x^{2}}{5+{\tfrac {x^{2}}{7+{\tfrac {x^{2}}{9+\ldots }}}}}}}}$

郎之萬函數的逆函數可由下式近似：

$L^{-1}(x)\approx x{\frac {3-x^{2}}{1-x^{2}}},$

其中，x的取值範圍為(-1, 1)。

當x比較小時，一個更好的近似為：

$L^{-1}(x)=3x{\frac {35-12x^{2}}{35-33x^{2}}}+O(x^{7})$

郎之萬逆函數的泰勒級數為：

$L^{-1}(x)=3x+{\tfrac {9}{5}}x^{3}+{\tfrac {297}{175}}x^{5}+{\tfrac {1539}{875}}x^{7}+\dots$

高溫極限

當 $x\ll 1$ 時，即$\mu _{B}B/k_{B}T$ 很小，磁矩可以由居里定律近似：

$M=C\cdot {\frac {B}{T}}$

其中 $C={\frac {Ng^{2}J(J+1)\mu _{B}^{2}}{3k_{B}}}$ 為常數， $g{\sqrt {J(J+1)}}$ 為有效波爾磁子數目。

強場極限

當 $x\to \infty$，布里淵函數的值趨於 1，材料的磁化強度飽和，磁矩的取向完全沿外場方向，於是有

$M=Ng\mu _{B}J$