解析信号
在数学和信号处理中,解析信号(英语:analytic signal)是没有负频率分量的复值函数。[1] 解析信号的实部和虚部是由希尔伯特变换相关联的实值函数。
实值函数的解析表示是解析信号,包含原始函数和它的希尔伯特变换。这种表示促进了许多数学变换的发展。基本的想法是,由于频谱的埃尔米特对称,实值函数的傅里叶变换(或频谱)的负频率成分是多余的。若是不介意处理复值函数的话,这些负频率分量可以丢弃而不损失信息。这使得函数的特定属性更易理解,并促进了调制和解调技术的衍生,如单边带。只要操作的函数没有负频率分量(也就是它仍是“解析函数”),从复数转换回实数就只需要丢弃虚部。解析表示是向量概念的一个推广:[2] 向量限制在时不变的幅度、相位和频率,解析信号允许有时变参数。
定义
编辑若 是一个实值函数,其傅里叶变换为 , 为一于 埃尔米特对称之函数:
- 其中, 为 的复共轭。
函数:
其中:
仅包含 的非负频率分量。而且由于 的埃尔米特对称性,该运算是可逆的:
的解析信号是 的傅里叶逆变换:
其中
例子
编辑例1
编辑- 其中
于是:
- 第三个等式为欧拉公式。
欧拉公式的一个推论是 一般来说,简单正弦曲线的解析表示是通过用复指数表示它,丢弃负频率分量,并对正频率分量加倍得到的。正弦曲线之和的解析表示等于单个正弦波的解析表示之和。
例2
编辑这里我们使用欧拉公式来识别并丢弃负频率。
于是:
例3
编辑这是使用希尔伯特变换方法去除负频率分量的另一个例子。我们注意到,对于复值函数 ,没有什么能阻止我们计算 。但它可能不是一种可逆的表示,因为原频谱不总是对称的。所以除了此例以外,一般讨论都假设 为实值函数。
- , 其中 .
于是:
负频率分量
编辑由于 ,恢复负频率分量就是简简单单丢弃 这件事可能与直觉不太一致。我们还可以注意到复共轭 仅由负频率分量构成。因此 恢复了被减弱的正频率分量。
应用
编辑包络和瞬时相位
编辑解析信号也可以表示在其随时间变化的幅度和相位(极坐标):
其中:
在附图中,蓝色曲线描绘 ,红色曲线描绘对应的 。
解缠的瞬时相位的时间导数的单位为rad/s,称作瞬时角频率:
瞬时幅度、瞬时相位与频率在一些应用中用于测量和检测的信号的局部特征。信号的解析表示的另一个应用与调制信号的解调有关。极坐标方便将幅度调制和相位(或频率)调制的影响分开,对解调某些种类的信号很有效。
复包络/基带
编辑解析信号通常都会在频率上移位(下转换)到 0 Hz,可能会产生[非对称]负频率分量:
其中 是任意参考角频率。[2]
这个函数有不同的名称,如复包络和复基带。复包络不是唯一的;它是由 的选取决定的。这个概念通常用于处理带通讯号。如果 是调制信号, 可能会等于它的载波频率。
在其他情况下, 选在所需通带的中间。因此简单的实系数低通滤波器就可以去除感兴趣的部分。另一个动机是减少最高频率,从而降低最小的无混叠采样率。频移不加大复信号表示的数学处理难度。因此从这个意义上说,下转换的信号仍然是解析信号。但是恢复实值表示不再是简简单单提取实部的问题了。为了避免混叠可能需要上转换,若信号已被(离散时间)采样,还可能需要插值(升采样)。
若选取的 大于 的最高频率,则 没有正频率。在这种情况下,提取实部并恢复它们,但顺序要相反;低频分量现在变为高频分量,反之亦然。这可用于解调一种叫做下边带的单边带信号。
- 参考频率的其他选择:
有时 的选取是要最小化
另外,[4] 选取还可以是要最小化线性逼近解缠的瞬时相位 的均方误差:
再或者(对最佳 ):
在信号处理领域,维格纳–威利分布定义中需要解析信号,因此该方法在实际应用中具有理想特性。[5]
有时复包络与复幅度同义;[a][b] 其他时候它作为一种时间无关的推广形式。[c] 它们的关系并不像实值的情形那样;变化的包络产生恒定的幅度。
参见
编辑应用
编辑注释
编辑参考文献
编辑- ^ ``Mathematics of the Discrete Fourier Transform (DFT), with Audio Applications --- Second Edition, by Julius O. Smith III, W3K Publishing, 2007, ISBN 978-0-9745607-4-8. Copyright © 2014-04-21 by Julius O. Smith III Center for Computer Research in Music and Acoustics (CCRMA), Stanford University, https://ccrma.stanford.edu/~jos/r320/Analytic_Signals_Hilbert_Transform.html (页面存档备份,存于互联网档案馆)[7/16/2014 1:07:57 PM]
- ^ 2.0 2.1 Bracewell, Ron. The Fourier Transform and Its Applications. McGraw-Hill, 1965. p269
- ^ B. Boashash, "Estimating and Interpreting the Instantaneous Frequency of a Signal-Part I: Fundamentals", Proceedings of the IEEE, Vol. 80, No. 4, pp. 519-538, April 1992
- ^ Justice, J. Analytic signal processing in music computation. IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing. 1979-12-01, 27 (6): 670–684 [2016-08-05]. ISSN 0096-3518. doi:10.1109/TASSP.1979.1163321. (原始内容存档于2014-10-20).
- ^ B. Boashash, “Notes on the use of the Wigner distribution for time frequency signal analysis”, IEEE Trans. on Acoustics, Speech, and Signal Processing , vol. 26, no. 9, 1987
- ^ Hlawatsch, Franz; Auger, François. Time-Frequency Analysis. John Wiley & Sons. 2013-03-01. ISBN 9781118623831 (英语).
- ^ Driggers, Ronald G. Encyclopedia of Optical Engineering: Abe-Las, pages 1-1024. CRC Press. 2003-01-01 [2016-08-05]. ISBN 9780824742508. (原始内容存档于2014-10-21) (英语).
- ^ Okamoto, Kenʼichi. Global Environment Remote Sensing. IOS Press. 2001-01-01. ISBN 9781586031015 (英语).
延伸阅读
编辑- Leon Cohen, Time-frequency analysis, Prentice Hall, Upper Saddle River, 1995.
- Frederick W. King, Hilbert Transforms, vol. II, Cambridge University Press, Cambridge, 2009.
- B. Boashash, Time-Frequency Signal Analysis and Processing: A Comprehensive Reference, Elsevier Science, Oxford, 2003.