解析訊號
在數學和訊號處理中,解析訊號(英語:analytic signal)是沒有負頻率分量的複值函數。[1] 解析訊號的實部和虛部是由希爾伯特轉換相關聯的實值函數。
實值函數的解析表示是解析訊號,包含原始函數和它的希爾伯特轉換。這種表示促進了許多數學轉換的發展。基本的想法是,由於頻譜的埃爾米特對稱,實值函數的傅立葉轉換(或頻譜)的負頻率成分是多餘的。若是不介意處理複值函數的話,這些負頻率分量可以丟棄而不損失資訊。這使得函數的特定屬性更易理解,並促進了調變和解調技術的衍生,如單邊帶。只要操作的函數沒有負頻率分量(也就是它仍是「解析函數」),從複數轉換回實數就只需要丟棄虛部。解析表示是向量概念的一個推廣:[2] 向量限制在非時變的振幅、相位和頻率,解析訊號允許有時變參數。
定義
編輯若 是一個實值函數,其傅立葉轉換為 , 為一於 埃爾米特對稱之函數:
- 其中, 為 的複共軛。
函數:
其中:
僅包含 的非負頻率分量。而且由於 的埃爾米特對稱性,該運算是可逆的:
的解析訊號是 的傅立葉反轉換:
其中
例子
編輯例1
編輯- 其中
於是:
- 第三個等式為歐拉公式。
歐拉公式的一個推論是 一般來說,簡單正弦曲線的解析表示是通過用複指數表示它,丟棄負頻率分量,並對正頻率分量加倍得到的。正弦曲線之和的解析表示等於單個正弦波的解析表示之和。
例2
編輯這裡我們使用歐拉公式來識別並丟棄負頻率。
於是:
例3
編輯這是使用希爾伯特轉換方法去除負頻率分量的另一個例子。我們注意到,對於複值函數 ,沒有什麼能阻止我們計算 。但它可能不是一種可逆的表示,因為原頻譜不總是對稱的。所以除了此例以外,一般討論都假設 為實值函數。
- , 其中 .
於是:
負頻率分量
編輯由於 ,恢復負頻率分量就是簡簡單單丟棄 這件事可能與直覺不太一致。我們還可以注意到複共軛 僅由負頻率分量構成。因此 恢復了被減弱的正頻率分量。
應用
編輯包絡和瞬時相位
編輯解析訊號也可以表示在其隨時間變化的振幅和相位(極坐標):
其中:
在附圖中,藍色曲線描繪 ,紅色曲線描繪對應的 。
解纏的瞬時相位的時間導數的單位為rad/s,稱作瞬時角頻率:
瞬時振幅、瞬時相位與頻率在一些應用中用於測量和檢測的訊號的局部特徵。訊號的解析表示的另一個應用與調變訊號的解調有關。極坐標方便將振幅調變和相位(或頻率)調變的影響分開,對解調某些種類的訊號很有效。
復包絡/基帶
編輯解析訊號通常都會在頻率上移位(下轉換)到 0 Hz,可能會產生[非對稱]負頻率分量:
其中 是任意參考角頻率。[2]
這個函數有不同的名稱,如復包絡和復基帶。復包絡不是唯一的;它是由 的選取決定的。這個概念通常用於處理帶通訊號。如果 是調變訊號, 可能會等於它的載波頻率。
在其他情況下, 選在所需通帶的中間。因此簡單的實係數低通濾波器就可以去除感興趣的部分。另一個動機是減少最高頻率,從而降低最小的無混疊取樣率。頻移不加大覆信號表示的數學處理難度。因此從這個意義上說,下轉換的訊號仍然是解析訊號。但是恢復實值表示不再是簡簡單單提取實部的問題了。為了避免混疊可能需要上轉換,若訊號已被(離散時間)取樣,還可能需要插值(升採樣)。
若選取的 大於 的最高頻率,則 沒有正頻率。在這種情況下,提取實部並恢復它們,但順序要相反;低分頻量現在變為高分頻量,反之亦然。這可用於解調一種叫做下邊帶的單邊帶訊號。
- 參考頻率的其他選擇:
有時 的選取是要最小化
另外,[4] 選取還可以是要最小化線性逼近解纏的瞬時相位 的均方誤差:
再或者(對最佳 ):
在訊號處理領域,維格納–威利分布定義中需要解析訊號,因此該方法在實際應用中具有理想特性。[5]
有時復包絡與復振幅同義;[a][b] 其他時候它作為一種時間無關的推廣形式。[c] 它們的關係並不像實值的情形那樣;變化的包絡產生恆定的振幅。
參見
編輯應用
編輯注釋
編輯參考文獻
編輯- ^ ``Mathematics of the Discrete Fourier Transform (DFT), with Audio Applications --- Second Edition, by Julius O. Smith III, W3K Publishing, 2007, ISBN 978-0-9745607-4-8. Copyright © 2014-04-21 by Julius O. Smith III Center for Computer Research in Music and Acoustics (CCRMA), Stanford University, https://ccrma.stanford.edu/~jos/r320/Analytic_Signals_Hilbert_Transform.html (頁面存檔備份,存於網際網路檔案館)[7/16/2014 1:07:57 PM]
- ^ 2.0 2.1 Bracewell, Ron. The Fourier Transform and Its Applications. McGraw-Hill, 1965. p269
- ^ B. Boashash, "Estimating and Interpreting the Instantaneous Frequency of a Signal-Part I: Fundamentals", Proceedings of the IEEE, Vol. 80, No. 4, pp. 519-538, April 1992
- ^ Justice, J. Analytic signal processing in music computation. IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing. 1979-12-01, 27 (6): 670–684 [2016-08-05]. ISSN 0096-3518. doi:10.1109/TASSP.1979.1163321. (原始內容存檔於2014-10-20).
- ^ B. Boashash, 「Notes on the use of the Wigner distribution for time frequency signal analysis」, IEEE Trans. on Acoustics, Speech, and Signal Processing , vol. 26, no. 9, 1987
- ^ Hlawatsch, Franz; Auger, François. Time-Frequency Analysis. John Wiley & Sons. 2013-03-01. ISBN 9781118623831 (英語).
- ^ Driggers, Ronald G. Encyclopedia of Optical Engineering: Abe-Las, pages 1-1024. CRC Press. 2003-01-01 [2016-08-05]. ISBN 9780824742508. (原始內容存檔於2014-10-21) (英語).
- ^ Okamoto, Kenʼichi. Global Environment Remote Sensing. IOS Press. 2001-01-01. ISBN 9781586031015 (英語).
延伸閱讀
編輯- Leon Cohen, Time-frequency analysis, Prentice Hall, Upper Saddle River, 1995.
- Frederick W. King, Hilbert Transforms, vol. II, Cambridge University Press, Cambridge, 2009.
- B. Boashash, Time-Frequency Signal Analysis and Processing: A Comprehensive Reference, Elsevier Science, Oxford, 2003.