高斯光束

在光学中，高斯光束（英语：Gaussian beam）是横向电场以及辐照度分布近似满足高斯函数的电磁波光束。许多镭射都近似满足高斯光束的条件，在这种情况中，镭射在光谐振腔中以TEM₀₀波模（横向基模）传播。当它在满足近衍射极限的镜片中发生折射时，高斯光束会变换成另一种不同参数的高斯光束，因此，高斯光束是镭射光学中一种方便、广泛应用的模型。

高斯光束的瞬时辐照度电脑绘图

场强（蓝色）和辐照度（黑色）在坐标轴上的分布情况

描述高斯光束的数学函数是亥姆霍兹方程的一个近轴近似解（属于小角近似的一种）。这个解具有高斯函数的形式，代表了光束中电场分量的复振幅。尽管电磁波的传播包括电场和磁场两部分，研究其中任一个场，就足以描述波在传播时的性质。

高斯光束中，场的行为可以通过几个参数加以刻画，如光斑大小，曲率半径，古依相移等。

亥姆霍兹方程的近轴近似解可能不止一个。笛卡尔坐标系下求解可得一类称为厄米-高斯模的解，在柱坐标中求解则得到一类称为拉盖尔-高斯模的解。对这两类解，最低阶都是高斯光束，高阶解则描述了光学谐振腔中的高阶横向模。

数学形式

高斯光束作为电磁波的横向电磁模，通过求解近轴亥姆霍兹公式，可得电场的振幅

$E(r,z)=E_{0}{\frac {w_{0}}{w(z)}}\exp \left({\frac {-r^{2}}{w^{2}(z)}}\right)\exp \left(-ikz-ik{\frac {r^{2}}{2R(z)}}+i\zeta (z)\right)\ ,$

纳米镭射器产生的镭射

这里

$r$ 为径向坐标，以光轴中心为参考点

$z$ 为轴向坐标，以光轴上光波最狭窄（束腰）位置为参考点

$i$ 为虚数单位（即 $i^{2}=-1$）

$k={2\pi \over \lambda }$ 为波数（以“弧度/米”为单位）

$E_{0}=|E(0,0)|$

$w(z)$ 为当电磁场振幅降到轴向的1/e、强度降到轴向的1/e²的点的半径

$w_{0}=w(0)$ 为镭射的束腰宽度

$R(z)$ 为光波波前的曲率半径

$\zeta (z)$ 为轴对称光波的 Gouy 相移，对高斯光束的相位也有影响

此外，上式中默认忽略了含时项 ${\textstyle e^{i\omega t}}$ 。

对应的辐照度时域平均值为

$I(r,z)={|E(r,z)|^{2} \over 2\eta }=I_{0}\left({\frac {w_{0}}{w(z)}}\right)^{2}\exp \left({\frac {-2r^{2}}{w^{2}(z)}}\right)\ ,$

这里 $I_{0}=I(0,0)$ 为光波束腰中心处的辐照度。常数 $\eta \,$ 为光波所在传播介质中的波阻抗。在真空中，$\eta =\eta _{0}={\sqrt {\frac {\mu _{0}}{\varepsilon _{0}}}}=1/(\varepsilon _{0}c)\approx 376.7\ \mathrm {\Omega }$。

波束参数

高斯光束的许多性质由一系列波束参数决定，下面将分别予以介绍。

束腰

对于在自由空间传播的高斯光束，其腰斑位置的半径在光轴方向总大于一个最小值 $w_{0}$，这个最小值被称为束腰（beam waist）。波长为 $\lambda$ 的光波的腰斑位置在 $z$ 轴上的分布为

$w(z)=w_{0}\,{\sqrt {1+{\left({\frac {z}{z_{\mathrm {R} }}}\right)}^{2}}}\ .$

这里将 $z=0$ 定义为束腰的位置。

$z_{\mathrm {R} }={\frac {\pi w_{0}^{2}}{\lambda }}$

被称为瑞利距离。

瑞利距离和共焦参数

与束腰轴向距离等于瑞利距离 $z_{R}$ 处的束宽为

$w(\pm z_{\mathrm {R} })=w_{0}{\sqrt {2}}.\,$

这两点之间的距离称作共焦参数或光束的焦深。

$b=2z_{\mathrm {R} }={\frac {2\pi w_{0}^{2}}{\lambda }}\ .$

曲率半径

$R(z)$ 是光束波前的曲率半径，它是轴向距离的函数

$R(z)=z\left[{1+{\left({\frac {z_{\mathrm {R} }}{z}}\right)}^{2}}\right]\ .$

光束偏移

当 $z\gg z_{\mathrm {R} }$，参数 $w(z)$ 与 $z$ 呈线性关系，趋近于一条直线。这条直线与中央光轴的夹角被称为光束的“偏移”，它等于

$\theta \simeq {\frac {\lambda }{\pi w_{0}}}\qquad (\theta \mathrm {\ in\ radians} ).$

在远离束腰的位置，光束弯散的总角度为

$\Theta =2\theta \ .$

由于这一性质，聚焦于一个小点的高斯镭射在远离这个点的传播过程中迅速散开。为了保持镭射的准直，镭射束必须具有较大的直径。束宽和光束偏移的这一关系是由于衍射的缘故。非高斯光束同样会表现这一效应，但是高斯光束是一种特殊情况，其束宽和偏移的乘积是可能达到的最小值。

由于高斯光束模型使用了近轴近似，当波前与光传播方向倾斜程度大于30度之后，这种模型将不再适用。通过上述偏移的表达式，这意味着高斯光束模型仅对束腰大于 $2\lambda /\pi$ 的光束适用。

镭射束的质量可以用束参数乘积（BBP）来衡量。对于高斯光束，BBP 的数值就是光束的偏移量与束腰 $w_{0}$ 的乘积。实际光束的 BPP 通过计算光束的最小直径和远场偏移量的乘积来获得。在波长一定的情况下，实际光束的 BPP 数值与理想镭射束的 BPP 数值的比值被称为“M²”。高斯光束的 M² 值为1，而所有的是镭射束的 M² 值均大于1，并且质量越好的镭射的 M² 值越接近1。

Gouy 相位

光束的轴向上的相位延迟，或称 Gouy 相位为

$\zeta (z)=\arctan \left({\frac {z}{z_{\mathrm {R} }}}\right)\ .$

当光束通过焦点时，除了正常情况下平面波的相移 $e^{-ikz}$ 外，多出一个额外的 Gouy 相移 $\pi$。

复数形式的光束参数

可以通过复数形式的光束参数 $q(z)$ 囊括光斑尺寸与曲率半径的信息，

$q(z)=z+q_{0}=z+iz_{\mathrm {R} }\ .$

倒数 $1/q(z)$ 显式提供了 $q(z)$，$w(z)$ 与 $R(z)$ 间的关系：

${1 \over q(z)}={1 \over z+iz_{\mathrm {R} }}={z \over z^{2}+z_{\mathrm {R} }^{2}}-i{z_{\mathrm {R} } \over z^{2}+z_{\mathrm {R} }^{2}}={1 \over R(z)}-i{\lambda \over \pi w^{2}(z)}.$

光束参数的复数形式在高斯光束传播的分析中有着重要地位，特别是当使用光线传递矩阵分析光谐振腔中光束传播。

利用复数光束参数 $q$，具有一个横向维度的高斯光束电磁场与下式成比例

${u}(x,z)={\frac {1}{\sqrt {{q}_{x}(z)}}}\exp \left(-ik{\frac {x^{2}}{2{q}_{x}(z)}}\right).$

在二维的情况中，可以将散光的光束表达为乘积的形式

${u}(x,y,z)={u}(x,z)\,{u}(y,z),$

对于圆对称的普遍情况，${q}_{x}={q}_{y}={q}$ 且$x^{2}+y^{2}=r^{2}$，可以得出

${u}(r,z)={\frac {1}{{q}(z)}}\exp \left(-ik{\frac {r^{2}}{2{q}(z)}}\right).$

功率和辐照度

流经孔隙的功率

流经距离 z 轴半径为r的圆的功率为

$P(r,z)=P_{0}\left[1-e^{-2r^{2}/w^{2}(z)}\right]\ ,$

这里

$P_{0}={1 \over 2}\pi I_{0}w_{0}^{2}$ 为电磁波传播的总能量

流经以 $r=w(z)\,$ 为半径的圆的能量占总能量的比值为

${P(z) \over P_{0}}=1-e^{-2}\approx 0.865\ .$

类似的，占光波总能量约90%的部分将流经半径为 $r=1.07\cdot w(z)\,$ 的圆形面积，总能量的95%通过 $r=1.224\cdot w(z)\,$ 的圆形面积，总能量的99%会通过 $r=1.52\cdot w(z)$ 的圆。

辐照度的峰值和平均值

在与束腰的轴向距离为 $z$ 的位置，利用洛必达法则，可以计算该位置的辐射照度峰值

$I(0,z)=\lim _{r\to 0}{\frac {P_{0}\left[1-e^{-2r^{2}/w^{2}(z)}\right]}{\pi r^{2}}}={\frac {P_{0}}{\pi }}\lim _{r\to 0}{\frac {\left[-(-2)(2r)e^{-2r^{2}/w^{2}(z)}\right]}{w^{2}(z)(2r)}}={2P_{0} \over \pi w^{2}(z)}.$

可以看出，辐照度峰值为平均值的两倍，后者等于总能量除以半径为 $w(z)$ 的圆的面积。

相关条目

• 平顶光束
• 镭射光束光点分析仪
• 贝索光束

参考文献

• Saleh, Bahaa E. A. and Teich, Malvin Carl. Fundamentals of Photonics. New York: John Wiley & Sons. 1991. ISBN 0-471-83965-5.  Chapter 3, "Beam Optics," pp. 80–107.

• Mandel, Leonard and Wolf, Emil. Optical Coherence and Quantum Optics. Cambridge: Cambridge University Press. 1995. ISBN 0-521-41711-2.  Chapter 5, "Optical Beams," pp. 267.

• Siegman, Anthony E. Lasers. University Science Books. 1986. ISBN 0-935702-11-3.  Chapter 16.

• Yariv, Amnon. Quantum Electronics 3rd. Wiley. 1989. ISBN 0-471-60997-8. 

• F. Pampaloni and J. Enderlein. Gaussian, Hermite-Gaussian, and Laguerre-Gaussian beams: A primer. 2004. arXiv:physics/0410021  . 

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• Gaussian Beam Propagation - CVI Melles Griot Technical Guide
• Gaussian Beam Optics Tutorial, Newport