2的算术平方根
2的二分之一次方
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2的算术平方根,俗称“根号2”,记作,可能是最早被发现的无理数。相传毕达哥拉斯学派的希帕索斯首先提出了“不是有理数”的命题:若一个直角三角形的两个直角边都是1,那么它的斜边长,无法用整数或分数表示。
2的平方根 | ||
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命名 | ||
名称 | 2的算术平方根 2的主平方根 根号2 | |
识别 | ||
种类 | 无理数 | |
符号 | ||
性质 | ||
连分数 | ||
以此为根的多项式或函数 | ||
表示方式 | ||
值 | 1.414213562... | |
二进制 | 1.011010100000100111100110… | |
十进制 | 1.414213562373095048801688… | |
十六进制 | 1.6A09E667F3BCC908B2FB1366… | |
其最初65位为
是无理数的证明
编辑常见的证明
编辑- 假设 是有理数,即有整数 、 ,使得
- 将 重写成最简分数 ,即 和 互素,且
- 所以 ,即
- 因为 必为偶数,故 亦是偶数
- 故 为偶数(奇数的平方不会是偶数)
- 所以必有一整数 ,使得
- 将(3)的式子代入(6):
- 化简得
- 因为 是偶数,所以 是偶数, 亦是偶数
- 所以 和 都是偶数,跟 是最简分数的假设矛盾
- 因为导出矛盾,所以(1)的假设错误, 不是有理数,即是无理数
这个证明可推广至证明任何非完全平方数的正整数 ,其算术平方根 为无理数。
另一个证明
编辑另外一个 是无理数的反证法证明较少为人所知,但证明方法也相当漂亮:
- 假设 是有理数,便可以表示成最简分数 ,其中 , 为正整数
- 由于 ,所以
- 因为
- 所以
- 故 是比 更简的分数,与 是最简分数的假设矛盾
从一个直角边为 ,斜边为 的等腰直角三角形,可以用尺规作图作出直角边为 ,斜边为 的等腰直角三角形。这是古希腊几何学家的作图证明方法。
性质
编辑2的算术平方根的连分数展开式为:
注释
编辑- ^ 令 , 由观察可知 ,即 , 解方程,取正根,得 , 因此 。
参见
编辑外部链接
编辑- 是无理数的六个证明,香港大学数学系萧文强(页面存档备份,存于互联网档案馆)(Mathematical Excalibur Vol.3 No.1 Page 2)
- 旧题新解 — 根号2是无理数,张海潮 张镇华[永久失效链接](数学传播 第 30 卷 第 4 期)