矩陣
的共軛轉置(英語:conjugate transpose,又稱埃爾米特共軛、埃爾米特轉置(英語:Hermitian transpose))
的定義為:
線性代數
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![{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a31efc33ac33577d719a3ccd162a9bf21e4847ea)
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向量 · 向量空間 · 基底 · 行列式 · 矩陣
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![{\displaystyle (A^{*})_{i,j}={\overline {A_{j,i}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d78bdef2a9dc9abbafa8773ce8aa16d136da4ff)
其中
表示矩陣i行j列上的元素,
表示純量的複共軛。
這一定義也可以寫作:
![{\displaystyle A^{*}=({\overline {A}})^{\mathrm {T} }={\overline {A^{\mathrm {T} }}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35ef6d0c6e0c9cb22f377422aaf75892bcccc406)
其中
是矩陣A的轉置,
表示對矩陣A中的元素取複共軛。
通常用以下記號表示矩陣A的共軛轉置:
或
,常用於線性代數
,普遍用於量子力學,而同時
只表示為
的複數共軛。[1]
(但這一記號通常指矩陣的摩爾-彭若斯廣義逆)
注意:某些情況下
也指僅對矩陣元素取複共軛,而不做矩陣轉置,切勿混淆。
若
- ,
則
- 。
如果A的元素是實數,那麼A*與A的轉置AT相等。把複值方塊矩陣視為複數的推廣,以及把共軛轉置視為共軛複數的推廣通常是非常有用的。
元素為 的方塊矩陣A稱為:
- 埃爾米特矩陣或自伴矩陣,如果A = A*,也就是說, ;
- 斜埃爾米特矩陣或反埃爾米特矩陣,如果A = −A*,也就是說, ;
- 正規矩陣,如果A*A = AA*。
即使A不是方塊矩陣,A*A和AA*仍然是埃爾米特矩陣和半正定矩陣。
- (A + B)* = A* + B*。
- (rA)* = r*A*,其中r為複數,r*為r的複共軛。
- (AB)* = B*A*,其中A為m行n列的矩陣,B為n行p列矩陣。
- (A*)* = A 。
- 若A為方陣,則det(A*) = (det A)*,且tr(A*) = (tr A)* 。
- A是可逆矩陣,若且唯若A*可逆,且有(A*)−1 = (A−1)* 。
- A*的特徵值是A的特徵值的複共軛。
- <Ax,y> = <x, A*y>,其中A為m列n行的矩陣,複向量x為n維行向量,複向量y為m維行向量,<·,·>為複數的內積。
- 從上面給出的最後一個性質可以推出,如果我們把A視為從希爾伯特空間Cn到Cm的線性轉換,則矩陣A*對應於A的自伴算子。於是,希爾伯特空間之間的自伴算子可以視為矩陣的共軛轉置的推廣。
- 還可以進行另外一種推廣:假設A是一個從複值向量空間V到W的線性映射,那麼可以定義複共軛線性映射和線性映射的轉置,並可以取A的共軛轉置為A的轉置的共軛複數。它把W的共軛對偶映射到V的共軛對偶。
- ^ Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics 2nd, 2005, pg. 443