劉維爾定理 (複分析)

劉維爾定理是數學中複分析的一個定理，由十九世紀法國數學家約瑟夫·劉維爾最先證明。劉維爾定理對整函數（即在整個複數域 $\mathbb {C}$ 上都是全純函數）的值域進行了刻畫。它表明，任何有界的整函數都一定是常數。

比劉維爾定理更進一步的是皮卡定理。後者說明，只要存在兩個相異的複數，它們都不屬於一個整函數的值域，則這個整函數是常數函數。

簡介

整函數是指從複數域 $\mathbb {C}$ 射到複數域，並且在整個複數域上都是全純函數的函數。全純也稱為復可微，是複函數的重要性質。某個函數] $f:\;\;\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C}$ 在某點 $z_{0}$ 全純，指在點 $z_{0}$ 以及其鄰域上有定義，並且以下極限：

\lim _{z\to z_{0}}{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}

存在。全純函數是複分析中的中心概念。全純不僅代表著復可微，而且可以證明，全純函數必然無窮可微，是解析函數。

劉維爾定理說明，任何一個整函數 $f:\;\;\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C}$ ，如果存在一個正數 $M$ ，使得對於所有的複數 $z$ ， $f(z)$ 的模長都小於等於 $M$ ：

z\in \mathbb {C} ,\;\;|f(z)|\leqslant M,

則該函數必定是常數函數。

證明

證明用到了整函數和解析函數的關係。整函數必然是解析函數，設有整函數 $f:\;\;\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C}$ ，考慮它關於 $z_{0}=0$ 的解析展開：

f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}

其中的係數 $a_{k}$ 可以根據柯西積分公式求得：

a_{k}={\frac {f^{(k)}}{k!}}={1 \over 2\pi i}\oint _{C_{r}}{f(\zeta ) \over \zeta ^{k+1}}\,d\zeta

其中 $C_{r}=\{z:\;|z|=r\}$ 是以0為圓心，半徑為 $r>0$ 的圓。依照函數 $f$ 有界的條件，可以估計係數 $a_{k}$ 模長的上界：

|a_{k}|\leq {\frac {1}{2\pi }}\oint _{C_{r}}{\frac {|f(\zeta )|}{|\zeta ^{k+1}|}}|\,d\zeta |\leq {\frac {1}{2\pi }}\oint _{C_{r}}{\frac {M}{r^{k+1}}}|\,d\zeta |\leq {\frac {M}{r^{k}}},

在以上的估計中，曲線積分為 $C_{r}$ ，其中半徑 $r$ 的選擇是任意的。當 $r$ 趨於無窮大時， ${\frac {M}{r^{k}}}$ 趨於0. 因此，讓 $r$ 趨於無窮大，便可以推出：對所有的k ≥ 1，都有a_k = 0。這說明，

f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}=a_{0}

即是說 $f$ 是常數函數。定理得證。

應用與推論

代數基本定理

整函數的大小關係

應用劉維爾定理可以證明，如果一個整函數 $f$ 總比另一個整函數 $g$ 小： $|f|\leqslant |g|$ ，那麼這兩個整函數成比例關係： $\forall z\in \mathbb {C} ,\;f(z)=\kappa \cdot g(z)$ ，其中 $\kappa$ 是比例常數。

考慮函數 $h:\;\;z\;\mapsto {\begin{cases}{\frac {f(z)}{g(z)}}&g(z)\neq 0,\\0&g(z)=0.\end{cases}}$

$|f|\leqslant |g|$ 說明，函數 $h$ 的模長總小於等於1。另一方面，由於 $|f|\leqslant |g|$ ，所以 ${\frac {f(z)}{g(z)}}$ 的奇點都是可去奇點，可以依照上面的方式拓延為整函數 $h$ 。所以 $h$ 作為一個有界的整函數，根據劉維爾定理，必然是常數函數。這說明 $f$ 和 $g$ 成比例關係。

次線性整函數

次線性函數，指函數值總小於等於定值乘以變量值的函數。設整函數 $f$ 滿足：

\forall z\in \mathbb {C} ,\;\;|f(z)|\leqslant M|z|.

其中 $M$ 是一個常數係數。考慮 $f$ 的導函數。根據柯西積分公式，

|f'(z)|={\frac {1}{2\pi }}\left|\oint _{C_{r}}{\frac {f(\zeta )}{(\zeta -z)^{2}}}\mathrm {d} \zeta \right|\leq {\frac {1}{2\pi }}\oint _{C_{r}}{\frac {\left|f(\zeta )\right|}{\left|(\zeta -z)^{2}\right|}}\left|\mathrm {d} \zeta \right|\leq {\frac {1}{2\pi }}\oint _{C_{r}}{\frac {M\left|\zeta \right|}{\left|(\zeta -z)^{2}\right|}}\left|\mathrm {d} \zeta \right|={\frac {MI_{r}^{z}}{2\pi }}

其中 $C_{r}=\{\zeta ;\;|\zeta -z|=r\}=\{z+r\cdot e^{it};\;t\in [0,2\pi ]\}$ 是以 $z$ 為圓心，半徑為 $r$ 的圓；

I_{r}^{z}=\oint _{C_{r}}{\frac {\left|\zeta \right|}{\left|(\zeta -z)^{2}\right|}}\left|\mathrm {d} \zeta \right|=\int _{0}^{2\pi }{\frac {\left|z+r\cdot e^{it}\right|}{r}}\mathrm {d} t

取 $r=|z|$ ，則 $\left|z+r\cdot e^{it}\right|\leqslant |z|+r=2r.$ 所以 $I_{r}^{z}\leqslant \int _{0}^{2\pi }2\mathrm {d} t=4\pi$ ，因此

|f'(z)|\leqslant 2M.

因此依據劉維爾定理， $f'$ 是常數函數。另一方面， $|f(0)|\leqslant M|0|$ ，所以 $f(0)=0.$ 綜上可知，次線性整函數 $f$ 是線性函數。

皮卡小定理

劉維爾定理可以被用於進一步證明推廣了它的皮卡小定理。

參考文獻

Knopp, K. Theory of Functions Parts I and II, Two Volumes Bound as One, Part II. New York: Dover, p. 74, 1996.
Krantz, S. G. "Entire Functions and Liouville's Theorem." §3.1.3 in Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, pp. 31-32, 1999.