劉維爾定理 (複分析)

複分析中的定理

劉維爾定理數學複分析的一個定理,由十九世紀法國數學家約瑟夫·劉維爾最先證明。劉維爾定理對整函數(即在整個複數上都是全純函數)的值域進行了刻畫。它表明,任何有界整函數都一定是常數。

比劉維爾定理更進一步的是皮卡定理。後者說明,只要存在兩個相異的複數,它們都不屬於一個整函數的值域,則這個整函數是常數函數。

簡介

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整函數是指從複數域 射到複數域,並且在整個複數域上都是全純函數的函數。全純也稱為復可微,是複函數的重要性質。某個函數] 在某點 全純,指在點 以及其鄰域上有定義,並且以下極限

 

存在。全純函數是複分析中的中心概念。全純不僅代表著復可微,而且可以證明,全純函數必然無窮可微,是解析函數

劉維爾定理說明,任何一個整函數 ,如果存在一個正數 ,使得對於所有的複數  模長都小於等於 

 

則該函數必定是常數函數。

證明

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證明用到了整函數和解析函數的關係。整函數必然是解析函數,設有整函數 ,考慮它關於 解析展開

 

其中的係數 可以根據柯西積分公式求得:

 

其中 是以0為圓心半徑 。依照函數 有界的條件,可以估計係數 模長的上界:

 

在以上的估計中,曲線積分 ,其中半徑 的選擇是任意的。當 趨於無窮大時, 趨於0. 因此,讓 趨於無窮大,便可以推出:對所有的k ≥ 1,都有ak = 0。這說明,

 

即是說 是常數函數。定理得證。

應用與推論

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代數基本定理

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整函數的大小關係

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應用劉維爾定理可以證明,如果一個整函數 總比另一個整函數 小: ,那麼這兩個整函數成比例關係: ,其中 是比例常數。

考慮函數 

 說明,函數 的模長總小於等於1。另一方面,由於 ,所以 奇點都是可去奇點,可以依照上面的方式拓延為整函數 。所以 作為一個有界的整函數,根據劉維爾定理,必然是常數函數。這說明  成比例關係。

次線性整函數

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次線性函數,指函數值總小於等於定值乘以變量值的函數。設整函數 滿足:

 

其中 是一個常數係數。考慮 導函數。根據柯西積分公式

 

其中 是以 為圓心,半徑為 的圓;

 

 ,則  所以 ,因此

 

因此依據劉維爾定理, 是常數函數。另一方面, ,所以  綜上可知,次線性整函數 是線性函數。

皮卡小定理

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劉維爾定理可以被用於進一步證明推廣了它的皮卡小定理

參考文獻

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  • Knopp, K. Theory of Functions Parts I and II, Two Volumes Bound as One, Part II. New York: Dover, p. 74, 1996.
  • Krantz, S. G. "Entire Functions and Liouville's Theorem." §3.1.3 in Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, pp. 31-32, 1999.

外部連結

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