刘维尔定理 (复分析)

刘维尔定理是数学中复分析的一个定理，由十九世纪法国数学家约瑟夫·刘维尔最先证明。刘维尔定理对整函数（即在整个复数域 $\mathbb {C}$ 上都是全纯函数）的值域进行了刻画。它表明，任何有界的整函数都一定是常数。

比刘维尔定理更进一步的是皮卡定理。後者说明，只要存在两个相异的复数，它们都不属于一个整函数的值域，则这个整函数是常数函数。

简介

整函数是指从复数域 $\mathbb {C}$ 射到复数域，并且在整个复数域上都是全纯函数的函数。全纯也称为复可微，是复函数的重要性质。某个函数] $f:\;\;\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C}$ 在某点 $z_{0}$ 全纯，指在点 $z_{0}$ 以及其邻域上有定义，并且以下极限：

\lim _{z\to z_{0}}{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}

存在。全纯函数是复分析中的中心概念。全纯不仅代表着复可微，而且可以证明，全纯函数必然无穷可微，是解析函数。

刘维尔定理说明，任何一个整函数 $f:\;\;\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C}$ ，如果存在一个正数 $M$ ，使得对于所有的复数 $z$ ， $f(z)$ 的模长都小于等于 $M$ ：

z\in \mathbb {C} ,\;\;|f(z)|\leqslant M,

则该函数必定是常数函数。

证明

证明用到了整函数和解析函数的关系。整函数必然是解析函数，设有整函数 $f:\;\;\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C}$ ，考虑它关于 $z_{0}=0$ 的解析展开：

f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}

其中的系数 $a_{k}$ 可以根据柯西积分公式求得：

a_{k}={\frac {f^{(k)}}{k!}}={1 \over 2\pi i}\oint _{C_{r}}{f(\zeta ) \over \zeta ^{k+1}}\,d\zeta

其中 $C_{r}=\{z:\;|z|=r\}$ 是以0为圆心，半径为 $r>0$ 的圆。依照函数 $f$ 有界的条件，可以估计系数 $a_{k}$ 模长的上界：

|a_{k}|\leq {\frac {1}{2\pi }}\oint _{C_{r}}{\frac {|f(\zeta )|}{|\zeta ^{k+1}|}}|\,d\zeta |\leq {\frac {1}{2\pi }}\oint _{C_{r}}{\frac {M}{r^{k+1}}}|\,d\zeta |\leq {\frac {M}{r^{k}}},

在以上的估计中，曲线积分为 $C_{r}$ ，其中半径 $r$ 的选择是任意的。当 $r$ 趋于无穷大时， ${\frac {M}{r^{k}}}$ 趋于0. 因此，让 $r$ 趋于无穷大，便可以推出：对所有的k ≥ 1，都有a_k = 0。这说明，

f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}=a_{0}

即是说 $f$ 是常数函数。定理得证。

应用与推论

代数基本定理

整函数的大小关系

应用刘维尔定理可以证明，如果一个整函数 $f$ 总比另一个整函数 $g$ 小： $|f|\leqslant |g|$ ，那么这两个整函数成比例关系： $\forall z\in \mathbb {C} ,\;f(z)=\kappa \cdot g(z)$ ，其中 $\kappa$ 是比例常数。

考虑函数 $h:\;\;z\;\mapsto {\begin{cases}{\frac {f(z)}{g(z)}}&g(z)\neq 0,\\0&g(z)=0.\end{cases}}$

$|f|\leqslant |g|$ 说明，函数 $h$ 的模长总小于等于1。另一方面，由于 $|f|\leqslant |g|$ ，所以 ${\frac {f(z)}{g(z)}}$ 的奇点都是可去奇点，可以依照上面的方式拓延为整函数 $h$ 。所以 $h$ 作为一个有界的整函数，根据刘维尔定理，必然是常数函数。这说明 $f$ 和 $g$ 成比例关系。

次线性整函数

次线性函数，指函数值总小于等于定值乘以变量值的函数。设整函数 $f$ 满足：

\forall z\in \mathbb {C} ,\;\;|f(z)|\leqslant M|z|.

其中 $M$ 是一个常数系数。考虑 $f$ 的导函数。根据柯西积分公式，

|f'(z)|={\frac {1}{2\pi }}\left|\oint _{C_{r}}{\frac {f(\zeta )}{(\zeta -z)^{2}}}\mathrm {d} \zeta \right|\leq {\frac {1}{2\pi }}\oint _{C_{r}}{\frac {\left|f(\zeta )\right|}{\left|(\zeta -z)^{2}\right|}}\left|\mathrm {d} \zeta \right|\leq {\frac {1}{2\pi }}\oint _{C_{r}}{\frac {M\left|\zeta \right|}{\left|(\zeta -z)^{2}\right|}}\left|\mathrm {d} \zeta \right|={\frac {MI_{r}^{z}}{2\pi }}

其中 $C_{r}=\{\zeta ;\;|\zeta -z|=r\}=\{z+r\cdot e^{it};\;t\in [0,2\pi ]\}$ 是以 $z$ 为圆心，半径为 $r$ 的圆；

I_{r}^{z}=\oint _{C_{r}}{\frac {\left|\zeta \right|}{\left|(\zeta -z)^{2}\right|}}\left|\mathrm {d} \zeta \right|=\int _{0}^{2\pi }{\frac {\left|z+r\cdot e^{it}\right|}{r}}\mathrm {d} t

取 $r=|z|$ ，则 $\left|z+r\cdot e^{it}\right|\leqslant |z|+r=2r.$ 所以 $I_{r}^{z}\leqslant \int _{0}^{2\pi }2\mathrm {d} t=4\pi$ ，因此

|f'(z)|\leqslant 2M.

因此依据刘维尔定理， $f'$ 是常数函数。另一方面， $|f(0)|\leqslant M|0|$ ，所以 $f(0)=0.$ 综上可知，次线性整函数 $f$ 是线性函数。

皮卡小定理

刘维尔定理可以被用于进一步证明推广了它的皮卡小定理。

参考文献

Knopp, K. Theory of Functions Parts I and II, Two Volumes Bound as One, Part II. New York: Dover, p. 74, 1996.
Krantz, S. G. "Entire Functions and Liouville's Theorem." §3.1.3 in Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, pp. 31-32, 1999.