圓內接多邊形

在幾何學中，圓內接多邊形是指存在外接圓的多邊形，且該外接圓能使多邊形的所有頂點都位於該圓的邊界上，換句話說若這個多邊形的所有頂點都能位於同一個圓上，則可稱其為圓內接多邊形。所有的三角形都是圓內接多邊形，而四邊形以上的多邊形則不一定。若一四邊形的四個頂點都在同一個圓上則稱為圓內接四邊形。

圓內接多邊形的對偶多邊形為圓外切多邊形。此外，所有正多邊形都是圓內接多邊形。

性質

若一個奇數邊數的圓內接多邊形，若其所有角度都相等時，則其為正多邊形，反之亦然。而若圓內接多邊形的邊數為偶數，且其所有角度都相等時，則其稜會交錯相等，反之亦然^[1]。

圓內接五邊形

一個面積為7392的羅賓斯五邊形（英語：Robbins pentagon）。

若一圓內接五邊形的邊長和面積皆為有理數，該五邊形稱為羅賓斯五邊形（英語：Robbins pentagon）。目前已知的所有羅賓斯五邊形對角線長也皆為有理數^[2]。

圓內接四邊形

在一個圓內接四邊形中，相對的兩內角是互補的，它們度數之和為180度^[3]。與此等價的說法是，圓內接四邊形的一個內角等於其相對面的角的外角。相對的兩內角互補是圓內接四邊形的充分必要條件，即，圓內接四邊形相對的兩內角互補，且相對的兩內角互補的四邊形是圓內接四邊形（四邊形四頂點共圓或說有四邊形有外接圓）。

點到頂點頂點距離

設A為圓內接多邊形，其為一個n邊形，而其頂點分別為A₁ , ..., A_n，並位於單位圓上，則對位於弧A₁A_n上的任意點M，從頂點到M的距離滿足^[4]^{:p.190,#332.10}：

{\begin{cases}MA_{1}+MA_{3}+\dots +MA_{n-2}+MA_{n}<{\frac {n}{\sqrt {2}}}\quad {\text{if}}\,n\,{\text{is odd}};\\MA_{1}+MA_{3}+\dots +MA_{n-3}+MA_{n-1}\leq {\frac {n}{\sqrt {2}}}\quad {\text{if}}\,n\,{\text{is even}}.\end{cases}}

參見

參考文獻

^ De Villiers, Michael. "Equiangular cyclic and equilateral circumscribed polygons," Mathematical Gazette 95, March 2011, 102-107.
^ Buchholz, Ralph H.; MacDougall, James A., Cyclic polygons with rational sides and area, Journal of Number Theory, 2008, 128 (1): 17–48 [2018-11-18], MR 2382768, doi:10.1016/j.jnt.2007.05.005, （原始內容存檔於2018-11-12） .
^ 歐幾里得，《幾何原本》第三章，命題22 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
^ Inequalities proposed in 「Crux Mathematicorum」, [1] （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）.

外部連結

埃里克·韋斯坦因. Cyclic Polygon. MathWorld.

[1] De Villiers, Michael. "Equiangular cyclic and equilateral circumscribed polygons," Mathematical Gazette 95, March 2011, 102-107.

[2] Buchholz, Ralph H.; MacDougall, James A., Cyclic polygons with rational sides and area, Journal of Number Theory, 2008, 128 (1): 17–48 [2018-11-18], MR 2382768, doi:10.1016/j.jnt.2007.05.005, （原始內容存檔於2018-11-12） .

[3] 歐幾里得，《幾何原本》第三章，命題22 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

[Crux-4] Inequalities proposed in 「Crux Mathematicorum」, [1] （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）.

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