埃倫費斯特定理
在量子力學裏,埃倫費斯特定理(Ehrenfest theorem)表明,量子算符的期望值對於時間的導數,跟這量子算符與哈密頓算符的對易算符,兩者之間的關係,以方程式表達為[1]
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8a/Paul_Ehrenfest.jpg/200px-Paul_Ehrenfest.jpg)
- ;
其中, 是某個量子算符, 是它的期望值, 是哈密頓算符, 是時間, 是約化普朗克常數。
埃倫費斯特定理是因物理學家保羅·埃倫費斯特命名。在量子力學的海森堡繪景裏,埃倫費斯特定理非常顯而易見;取海森堡方程式的期望值,就可以得到埃倫費斯特定理。埃倫費斯特定理與哈密頓力學的劉維定理密切相關;劉維定理使用的卜瓦松括號,對應於埃倫費斯特定理的對易算符。實際上,從根據經驗法則,將對易算符換為卜瓦松括號乘以 ,再取 趨向於 0 的極限,含有對易算符的量子定理就可以改變為含有卜瓦松括號的古典定理。
導引
編輯假設,一個物理系統的量子態為 ,則算符 的期望值對於時間的導數為
薛丁格方程式表明哈密頓算符 與時間 的關係為
- 。
其共軛複數為
- 。
因為哈密頓算符是厄米算符, 。所以,
- 。
將這三個方程式代入 的方程式,則可得到
- 。
所以,埃倫費斯特定理成立:
- 。
實例
編輯使用埃倫費斯特定理,可以簡易地證明,假若一個物理系統的哈密頓量顯性地不含時間,則這系統是保守系統。
從埃倫費斯特定理,可以計算任何算符的期望值對於時間的導數。特別而言,速度的期望值和加速度的期望值。知道這些資料,就可以分析量子系統的運動行為。
守恆的哈密頓量
編輯考慮哈密頓算符 :
- 。
假若,哈密頓量顯性地不含時間, ,則
- ,
哈密頓量是個常數 。
位置的期望值對於時間的導數
編輯- ;
應用埃倫費斯特定理,
- 。
由於 ,位置的期望值對於時間的導數等於速度的期望值:
- 。
這樣,可以得到動量 的期望值。
動量的期望值對於時間的導數
編輯應用埃倫費斯特定理,
- 。
由於 與自己互相交換,所以, 。又在坐標空間裏,動量算符 不含時間: 。所以,
- 。
將卜瓦松括號展開,
- 。
使用乘法定則,
- 。
在量子力學裏,動量的期望值對於時間的導數,等於作用力 的期望值。
古典極限
編輯取古典極限[2], ,則可得到一組完全的量子運動方程式:
- ,
- 。
這組量子運動方程式,精確地對應於古典力學的運動方程式:
- ,
- 。
取「古典極限」,量子力學的定律約化為古典力學的定律。這結果也時常被稱為埃倫費斯特定理。這古典極限是什麼呢?標記 為 。設定 。泰勒展開 於 :
- 。
由於 , ,
- 。
這近似方程式右手邊的第二項目就是誤差項目。只要這誤差項目是可忽略的,就可以取古典極限。而這誤差項目的大小跟以下兩個因素有關:
- 一個是量子態對於位置的不可確定性。
- 另一個則是位勢隨著位置而變化的快緩。
參閱
編輯參考文獻
編輯- ^ Smith, Henrik. Introduction to Quantum Mechanics. World Scientific Pub Co Inc. 1991: pp. 108–109. ISBN 978-9810204754.
- ^ Tannor, David J. Introduction to Quantum Mechanics: A Time-Dependent Perspective. University Science Books. 2006: pp. 35–38. ISBN 978-1891389238.