基變更

基底的變換或稱基的變換（change of basis）在線性代數中，n 維向量空間的基是 n 個向量 α₁, ..., α_n 的序列，帶有所有這個空間中的向量可以唯一的表達為基向量的線性組合的性質。因為經常需要處理一個向量空間的多於一個的基，在線性代數中能夠輕易的變換向量的逐坐標表達，和變換關於一個基的線性映射到關於另一個基的等價表達是根本重要的。這種變換叫做基變更。

儘管下面採用了術語向量空間，符號 R 意味著實數域，這裡討論的結果成立只要 R 是交換環，而這裡的向量空間可替代為自由 R-模。

預備概念

Rⁿ 的平常基是 $\{{\vec {e}}_{1},\cdots ,{\vec {e}}_{n}\}$ ，這裡的 ${\vec {e}}_{j}=(0,\cdots ,1,0,\cdots ,0)$ 是 Rⁿ 的元素，在第 j 個位置上都是1，其他地方都是 0。

如果 T : Rⁿ → R^m 是線性變換，T 的 m × n 矩陣是對於 $j=1,\cdots ,n$ 其第 j 縱列是 $T({\vec {e}}_{j})\,$ 的矩陣 t。在這種情況下我們有 $T({\vec {x}})=\mathbf {t} {\vec {x}}$ 對於所有 Rⁿ 中的 x，這裡我們把 x 當作列向量，在右側的乘法是矩陣乘法。在線性代數中一個基本事實是從 Rⁿ 到 R^m 的所有線性變換的向量空間 Hom(Rⁿ, R^m) 自然的同構在 R 上的 m × n 矩陣的空間 R^{m × n}；就是說線性變換 T : Rⁿ → R^m 對於所有目的和用途都等價於它的矩陣 t。

我們還利用下列簡單的觀察。

定理：設 V 和 W 是向量空間，設 $\{\alpha _{1},\cdots ,\alpha _{n}\}$ 是 V 的基，並設 $\{\gamma _{1},\cdots ,\gamma _{n}\}$ 是任何 W 中的 n 個向量。則存在一個唯一的線性變換 T : V → W ，對於 $j=1,\cdots ,n$ 有 $T(\alpha _{j})=\gamma _{j}\,$ 。

這個唯一的 T 定義自 $T(x_{1}\alpha _{1}+\cdots +x_{n}\alpha _{n})=x_{1}\gamma _{1}+\cdots +x_{n}\gamma _{n}$ 。當然，如果 $\{\gamma _{1},\cdots ,\gamma _{n}\}$ 碰巧是 W 的基，則 T 是雙射又是線性的；換句話說，T 是同構。如果在這種情況下我們還有 W = V，則 T 被稱為是自同構。

現在設 V 在 R 上的向量空間並假設 $\{\alpha _{1},\cdots ,\alpha _{n}\}$ 是 V 的基。通過定義，如果 ξ 是 V 中的向量，則 $\xi =x_{1}\alpha _{1}+\cdots +x_{n}\alpha _{n}$ 是 $x_{1},\cdots ,x_{n}$ 在 R 中唯一純量選擇，被叫做 ξ 相對於有序基 $\{\alpha _{1},\cdots ,\alpha _{n}\}$ 的坐標。 Rⁿ 中的向量 ${\vec {x}}=(x_{1},\cdots ,x_{n})$ 被叫做 ξ (相對於這個基)的坐標元組。唯一的線性映射 φ : Rⁿ → V，對於 $j=1,\cdots n$ 有 $\phi ({\vec {e}}_{j})=\alpha _{j}\,$ ，它被稱為對 V 和基 $\{\alpha _{1},\cdots ,\alpha _{n}\}$ 的坐標同構。所以 $\phi ({\vec {x}})=\xi \,$ 若且唯若 $\xi =x_{1}\alpha _{1}+\cdots +x_{n}\alpha _{n}$ 。

坐標變更

我們實現檢查在 V 中的向量 ξ 的坐標在選擇了另一個基的時候怎樣變更的問題。假設 $\{\alpha _{1},\cdots ,\alpha _{n}\}$ 和 $\{\alpha '_{1},\cdots ,\alpha '_{n}\}$ 是 V 的兩個基。設 φ₁ 和 φ₂ 是從 Rⁿ 到 V 的對應的坐標同構就是說 $\phi _{1}({\vec {e}}_{j})=\alpha _{j}\,$ 而 $\phi _{2}({\vec {e}}_{j})=\alpha '_{j}\,$ 對於 $j=1,\cdots ,n$ 。如果 ${\vec {x}}=(x_{1},\cdots ,x_{n})$ 是 ξ 關於第一個基的坐標 n-元組，因此 $\xi =\phi _{1}({\vec {x}})\,$ ，則 ξ 關於第二個基的坐標元組是 $\phi _{2}^{-1}(\xi )=\phi _{2}^{-1}(\phi _{1}{\vec {x}}))$ 。現在映射 $\phi _{2}^{-1}\circ \phi _{1}$ 是在 Rⁿ 上的自同構，因此有一個矩陣 p。此外， p 的第 j 縱列是 $\phi _{2}^{-1}\circ \phi _{1}({\vec {e}}_{j})=\phi _{2}^{-1}(\alpha _{j})$ ，就是說， $\alpha _{j}\,$ 關於第二個基 $\{\alpha '_{1},\cdots ,\alpha '_{n}\}$ 的坐標 n-元組。所以 ${\vec {y}}=\phi _{2}^{-1}(\phi _{1}({\vec {x}}))=\mathbf {p} {\vec {x}}$ 是 ξ 關於基 $\{\alpha '_{1},\cdots ,\alpha '_{n}\}$ 的坐標 n-元組。

線性變換的矩陣

現在假設 T : V → W 是線性變換，{α₁, ..., α_n} 是 V 的一個基而 {β₁, ..., β_m} 是 W 的一個基。設 φ 和 ψ 分別是 V 和 W 的相對於給定基的坐標同構。則映射 T₁ = ψ^-1 o T o φ 是從 Rⁿ 到 R^m 的線性變換，並因此有一個矩陣 t；它的第 j 縱列是 ψ^-1(T(α_j)) 對於 j = 1, ..., n。這個矩陣叫做T 關於有序基 {α₁, ..., α_n} 和 {β₁, ..., β_m} 的矩陣。如果 η = T(ξ) 並且 y 和 x 是 η 和 ξ 的坐標元組，則 y = ψ^-1(T(φ(x))) = tx。反過來，如果 ξ 在 V 中，而 x = φ^-1(ξ) 是 ξ 關於 {α₁, ..., α_n} 的坐標元組，我們設置 y = tx 和 η = ψ(y)，則 η = ψ(T₁(x)) = T(ξ)。就是說，如果 ξ 在 V 中而 η 在 W 中並且 x 和 y 是它們的坐標元組，則 y = tx 若且唯若 η = T(ξ)。

定理：假設 U, V 和 W 是有限維的向量空間並為每個選擇了有序基。如果 T : U → V 和 S : V → W 是有矩陣 s 和 t 的線性變換，則線性變換 S o T : U → W (關於給定基)的矩陣是 st。

基的變更

現在我們要問 T : V → W 的矩陣在變更在 V 和 W 的基的時候發生了什麼。設 {α₁, ..., α_n} 和 {β₁, ..., β_m} 分別是 V 和 W 的有序基，並假設給予了第二對基 {α'₁, ..., α'_n} 和 {β'₁, ..., β'_m}。設 φ₁ 和 φ₂ 是從在 Rⁿ 中的平常基到 V 的第一個和第二個基的坐標同構，並設 ψ₁ 和 ψ₂ 是從在 R^m 中的平常基到 W 的第一個和第二個基的同構。

令 $T_{1}=\psi _{1}^{-1}\circ T\circ \phi _{1}$ ，並令 $T_{2}=\psi _{2}^{-1}\circ T\circ \phi _{2}$ （兩者都從 $\mathbb {R} ^{n}$ 映至 $\mathbb {R} ^{m}$ ）。令 $\mathbf {t} _{1}$ 與 $\mathbf {t} _{2}$ 為相應的矩陣。令 $\mathbf {p} ,\mathbf {q}$ 分別為對應到基變更自同構 $\phi _{2}^{-1}\circ \phi _{1}:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{m}$ 與 $\psi _{2}^{-1}\circ \psi _{1}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ 的矩陣。

由於我們有 $T_{2}=\psi _{2}^{-1}\circ T\circ \phi _{2}=(\psi _{2}^{-1}\circ \psi _{1})\circ T_{1}\circ (\phi _{1}^{-1}\circ \phi _{2})$ ，又因為線性映射的合成對應到矩陣乘法，遂得到

\mathbf {t} _{2}=\mathbf {q} \mathbf {t} _{1}\mathbf {p} ^{-1}

自同態的矩陣

線性變換的矩陣的一個重要情形是自同態的矩陣，亦即從一個向量空間 $V$ 至其自身的線性映射，換言之就是 W = V 的情形。我們可以自然地取基 {β₁, ..., β_n} = {α₁, ..., α_n} 與 {β'₁, ..., β'_m} = {α'₁, ..., α'_n}。此時線性映射 T 的矩陣必為方陣。