基本單位 (數論)

在代數數論，基本單位，是數體中代數整數環的生成元（即模單位根），可理解為單位群模其扭子群是個無限循環群。狄利克雷單位定理表明：rank=1的有實二次體，複三次域，完全四元數域。

隨時代發展，當對rank ≥1*基本單位也被有些作者叫基本單位系，rank=1時的才基本單位，這只是基本單位系的一個系元.

實二次體

實二次體$K=\mathbf {Q} ({\sqrt {d}})$（d無平方因子），如果Δ表示代數數體K的判別式，則基本單位是：

$\epsilon ={\frac {a+b{\sqrt {\Delta }}}{2}}$

其中 (a, b) 是下面佩爾方程式的最小正整數解

$x^{2}-\Delta y^{2}=\pm 4$

上面的佩爾方程式可通過${\sqrt {\Delta }}$的連分數展開獲得。這個不定方程式現在得出一些結論：

• ${\sqrt {\Delta }}$連分數展開是奇週期的。
• 有機率表明Δ如果能整除一個3mod4的同餘的質數，那麽K有範為-1的單位機率較大。如d=34就為反例，1990年，Peter Stevenhagen 提出個機率模型，專找反例。特別的，當 Δ < X ，對如果能整除一個3mod4的同餘的質數的D(X)，其共軛D⁻(X)有範為-1的單位機率為：

$\lim _{X\rightarrow \infty }{\frac {D^{-}(x)}{D(x)}}=1-\prod _{j\geq 1{\text{ odd}}}\left(1-2^{-j}\right).$。

也就是這種特例下有42%反例，至2012年3月，最近對這個猜想的結果 為可有33％~59％的反例。

三次域

如果「K」是只有一個實嵌入的複三次域，且在嵌入中基本單位ε賦值滿足|ε| > 1 ，判別式賦值|Δ| ≥ 33， 則：

$\epsilon ^{3}>{\frac {|\Delta |-27}{4}}.$

例：$\mathbf {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})$基本單位的$1+{\sqrt[{3}]{2}}+{\sqrt[{3}]{2^{2}}}$ 的三次方≈ 56.9, ，判別式= −108 則：

${\frac {|\Delta |-27}{4}}=20.25.$

參考文獻

• Alaca, Şaban; Williams, Kenneth S., Introductory algebraic number theory, Cambridge University Press, 2004, ISBN 978-0-521-54011-7 
• Duncan Buell. Binary quadratic forms: classical theory and modern computations. Springer-Verlag. 1989: 92–93. ISBN 0-387-97037-1. 
• Fouvry, Étienne; Klüners, Jürgen, On the negative Pell equation, Annals of Mathematics, 2010, 2 (3): 2035–2104, MR 2726105 
• Stevenhagen, Peter, The number of real quadratic fields having units of negative norm, Experimental Mathematics, 1993, 2 (2): 121–136, MR 1259426