具體地,向量場X 是一個基靈場,如果度量關於 X 李導數 為零:
L
X
g
=
0
.
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}g=0\,.}
用列維-奇維塔聯絡 表示,即
g
(
∇
Y
X
,
Z
)
+
g
(
Y
,
∇
Z
X
)
=
0
{\displaystyle g(\nabla _{Y}X,Z)+g(Y,\nabla _{Z}X)=0\,}
對所有的向量Y 與Z 。在局部坐標系 中,這便是基靈方程式:
∇
μ
X
ν
+
∇
ν
X
μ
=
0
.
{\displaystyle \nabla _{\mu }X_{\nu }+\nabla _{\nu }X_{\mu }=0\,.}
該條件表示成共變形式,從而只要在一個特定的坐標系中成立就在所有坐標系下成立。
一個基靈場由其在一點的向量和其梯度(即這個場在該點的所有共變導數 )決定。
兩個基靈場的李括號 仍然是一個基靈場。從而流形M 上的基靈場組成了M 上一個李代數 。如果M 緊或者完備 這便是流形的等距同構群 的李代數。
對緊 流形:
負里奇曲率 意味著不存在非平凡 基靈場。
非正里奇曲率,意味著任何基靈場都是平行的,即沿著任何向量場的共變導數恆為零。
如果截面曲率 為正且M 維數為偶,一個基靈場一定有零點。
基靈向量場可以推廣到共形基靈向量場,定義為:
L
X
g
=
λ
g
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}g=\lambda g\,}
對某個純量
λ
{\displaystyle \lambda \,}
,一個單參數共形映射 族的導數是共形基靈場。另一種推廣是共形基靈張量場,是一個對稱張量 場T ,使得
∇
T
{\displaystyle \nabla T\,}
的對稱化中與跡無關的部分為零。
在廣義相對論中,基靈向量與時空的對稱性緊密聯繫。簡單說來,當一個時空流形在特定變換下具有幾何不變性時,我們稱這種時空流形具有對稱性 ;也就是說度規在這種變換下是保持形式不變的。一個張量場 可能會具有多種不同的對稱性,例如閔考斯基時空 的平直度規在平移變換(包含四種基本對稱操作)及勞侖茲變換 (包含六種基本對稱操作)下保持不變,即對於閔考斯基度規
d
s
2
=
η
μ
ν
d
x
μ
d
x
ν
{\displaystyle ds^{2}=\eta _{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }\,}
所具有的兩種對稱性表示為
x
ν
→
x
ν
+
a
ν
{\displaystyle x^{\nu }\to x^{\nu }+a^{\nu }\,}
(平移對稱性 )
x
ν
→
Λ
μ
ν
x
ν
{\displaystyle x^{\nu }\to \Lambda _{\mu }^{\nu }x^{\nu }\,}
(勞侖茲對稱性 )
從閔考斯基時空的平移對稱性表示中我們可以看到,度規的係數
η
μ
ν
{\displaystyle \eta _{\mu \nu }\,}
(1或-1)和平移的坐標函數
x
ν
{\displaystyle x^{\nu }\,}
無關。這個性質可以推廣到一般度規
g
μ
ν
{\displaystyle g_{\mu \nu }\,}
下的平移對稱性,即對於某些確定的坐標函數
x
σ
{\displaystyle x^{\sigma }\,}
,如果
∂
σ
g
μ
ν
=
0
{\displaystyle \partial _{\sigma }g_{\mu \nu }=0\,}
對所有的
μ
{\displaystyle \mu \,}
和
ν
{\displaystyle \nu \,}
成立,則度規在
x
σ
{\displaystyle x^{\sigma }\,}
方向上具有平移對稱性:
∂
σ
g
μ
ν
=
0
⇒
x
σ
→
x
σ
+
a
σ
{\displaystyle \partial _{\sigma }g_{\mu \nu }=0\qquad \Rightarrow \qquad x^{\sigma }\to x^{\sigma }+a^{\sigma }\,}
對類時 的測地線 而言,測地線方程式 可以寫成動量 的形式,即對於粒子的四維動量
p
μ
=
m
U
μ
{\displaystyle p^{\mu }=mU^{\mu }\,}
,測地線方程式為
p
λ
∇
λ
p
μ
=
0
{\displaystyle p^{\lambda }\nabla _{\lambda }p^{\mu }=0}
其中
p
λ
{\displaystyle p^{\lambda }\,}
的上標可以降為下標而方程式保持形式不變,根據協變導數 的定義方程式等價於
p
λ
∂
λ
p
μ
−
Γ
λ
μ
σ
p
λ
p
σ
=
0
{\displaystyle p^{\lambda }\partial _{\lambda }p_{\mu }-\Gamma _{\lambda \mu }^{\sigma }p^{\lambda }p_{\sigma }=0\,}
左邊第一項的含義是動量如何沿測地線變化:
p
λ
∂
λ
p
μ
=
m
d
x
λ
d
τ
∂
λ
p
μ
=
m
d
p
μ
d
τ
{\displaystyle p^{\lambda }\partial _{\lambda }p_{\mu }=m{\frac {dx^{\lambda }}{d\tau }}\partial _{\lambda }p_{\mu }=m{\frac {dp_{\mu }}{d\tau }}\,}
而第二項可以化為如下形式:
Γ
λ
μ
σ
p
λ
p
σ
=
1
2
g
σ
ν
(
∂
λ
g
μ
ν
+
∂
μ
g
ν
λ
−
∂
ν
g
λ
μ
)
p
λ
p
σ
=
1
2
(
∂
λ
g
μ
ν
+
∂
μ
g
ν
λ
−
∂
ν
g
λ
μ
)
p
λ
p
ν
=
1
2
(
∂
μ
g
ν
λ
)
p
λ
p
ν
{\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma _{\lambda \mu }^{\sigma }p^{\lambda }p_{\sigma }&={\frac {1}{2}}g^{\sigma \nu }\left(\partial _{\lambda }g_{\mu \nu }+\partial _{\mu }g_{\nu \lambda }-\partial _{\nu }g_{\lambda \mu }\right)p^{\lambda }p_{\sigma }\\&={\frac {1}{2}}\left(\partial _{\lambda }g_{\mu \nu }+\partial _{\mu }g_{\nu \lambda }-\partial _{\nu }g_{\lambda \mu }\right)p^{\lambda }p^{\nu }\\&={\frac {1}{2}}\left(\partial _{\mu }g_{\nu \lambda }\right)p^{\lambda }p^{\nu }\end{aligned}}}
其中第二步到第三步是用了
p
λ
p
ν
{\displaystyle p^{\lambda }p^{\nu }\,}
的對稱性,從而對稱的兩項可以消去。綜合上面的結果我們得到
m
d
p
μ
d
τ
=
1
2
(
∂
μ
g
ν
λ
)
p
λ
p
ν
{\displaystyle m{\frac {dp_{\mu }}{d\tau }}={\frac {1}{2}}\left(\partial _{\mu }g_{\nu \lambda }\right)p^{\lambda }p^{\nu }\,}
從這個方程式我們可知,對於度規
g
ν
λ
{\displaystyle g_{\nu \lambda }\,}
若在坐標方向
μ
{\displaystyle \mu \,}
上偏導數為零,則沿坐標方向
μ
{\displaystyle \mu \,}
的動量
p
μ
{\displaystyle p^{\mu }\,}
不隨時間變化,即動量分量
p
μ
{\displaystyle p^{\mu }\,}
是一個守恆量,即
∂
σ
g
μ
ν
=
0
⇒
d
p
σ
d
τ
=
0
{\displaystyle \partial _{\sigma }g_{\mu \nu }=0\qquad \Rightarrow \qquad {\frac {dp_{\sigma }}{d\tau }}=0\,}
這個守恆律雖然是從類時的測地線得到的,它對所有的測地線都成立。
我們在上節中看到,當度規與坐標的某一個分量無關時,度規在這個分量上則具有平移對稱性。現在從這個事實出發將其寫成協變的形式,即當一個一般的度規
g
μ
ν
{\displaystyle g_{\mu \nu }\,}
與某一坐標分量
x
σ
{\displaystyle x^{\sigma }\,}
無關時,定義向量
∂
σ
{\displaystyle \partial _{\sigma }\,}
將其標記為
K
{\displaystyle {\boldsymbol {K}}\,}
:
K
=
∂
σ
{\displaystyle {\boldsymbol {K}}=\partial _{\sigma }\,}
推導中一般寫成分量的形式:
K
μ
=
(
∂
σ
)
μ
=
δ
σ
μ
{\displaystyle {K}^{\mu }=\left(\partial _{\sigma }\right)^{\mu }=\delta _{\sigma }^{\mu }\,}
這裡我們稱
K
μ
{\displaystyle {K}^{\mu }}
是度規對稱性的生成向量,即在這個向量的方向上的無窮小變換操作下坐標保持不變。在這個向量的作用下,守恆量可以寫成協變的形式,例如
p
σ
=
K
ν
p
ν
{\displaystyle p_{\sigma }={K}^{\nu }p_{\nu }\,}
從前文的推導我們已知,若
p
μ
{\displaystyle p^{\mu }\,}
是沿測地線的(純量)守恆量,則它沿測地線的方向導數 為零,用生成向量的形式寫出來則得到
d
p
σ
d
τ
=
0
⇔
p
μ
∇
μ
(
K
ν
p
ν
)
=
0
{\displaystyle {\frac {dp_{\sigma }}{d\tau }}=0\qquad \Leftrightarrow \qquad p^{\mu }\nabla _{\mu }\left({K}_{\nu }p^{\nu }\right)=0\,}
將右面的式子作展開得到
p
μ
∇
μ
(
K
ν
p
ν
)
=
p
μ
∇
μ
K
ν
p
ν
+
p
μ
p
ν
∇
μ
K
ν
=
p
μ
p
ν
∇
μ
K
ν
=
p
μ
p
ν
∇
(
μ
K
ν
)
{\displaystyle {\begin{aligned}p^{\mu }\nabla _{\mu }\left({K}_{\nu }p^{\nu }\right)&=p^{\mu }\nabla _{\mu }{K}_{\nu }p^{\nu }+p^{\mu }p^{\nu }\nabla _{\mu }K_{\nu }\\&=p^{\mu }p^{\nu }\nabla _{\mu }K_{\nu }\\&=p^{\mu }p^{\nu }\nabla _{(\mu }K_{\nu )}\end{aligned}}}
從第一步到第二步中第一項消去的原因是測地線方程式,而第二步到第三步是由於
μ
{\displaystyle \mu \,}
和
ν
{\displaystyle \nu \,}
的對稱性。
由此可得到結論:對於任何滿足方程式
∇
(
μ
K
ν
)
=
0
{\displaystyle \nabla _{(\mu }K_{\nu )}=0\,}
的向量
K
ν
{\displaystyle K_{\nu }\,}
,都對應著沿測地線的守恆量
K
ν
p
ν
{\displaystyle K_{\nu }p^{\nu }\,}
:
∇
(
μ
K
ν
)
=
0
⇒
p
μ
∇
μ
(
K
ν
p
ν
)
=
0
{\displaystyle \nabla _{(\mu }K_{\nu )}=0\qquad \Rightarrow \qquad p^{\mu }\nabla _{\mu }\left({K}_{\nu }p^{\nu }\right)=0\,}
左面的方程式
∇
(
μ
K
ν
)
=
0
{\displaystyle \nabla _{(\mu }K_{\nu )}=0\,}
叫做基靈方程式,而滿足這個方程式的向量場
K
ν
{\displaystyle K_{\nu }\,}
叫做基靈向量場或直接稱作基靈向量。基靈向量的形式與度規的坐標選取有關,雖然上文的推導過程中基靈向量的形式是
K
=
∂
σ
{\displaystyle {\boldsymbol {K}}=\partial _{\sigma }\,}
,這是由選取坐標系的特殊性決定的,在其他一般化的坐標系選取下它會具有不同的形式;但無論如何卻總能找到一個特定的坐標系使對應的基靈向量滿足如
K
=
∂
σ
{\displaystyle {\boldsymbol {K}}=\partial _{\sigma }\,}
的形式。
從基靈向量的概念可進一步推廣到基靈張量,即滿足方程式
∇
(
μ
K
ν
1
ν
2
.
.
.
ν
l
)
=
0
{\displaystyle \nabla _{(\mu }K_{\nu _{1}\nu _{2}...\nu _{l})}=0\,}
的
l
{\displaystyle l\,}
階張量
K
ν
1
ν
2
.
.
.
ν
l
{\displaystyle K_{\nu _{1}\nu _{2}...\nu _{l}}\,}
對應有守恆量
K
ν
1
ν
2
.
.
.
ν
l
p
ν
1
ν
2
.
.
.
ν
l
{\displaystyle {K}_{\nu _{1}\nu _{2}...\nu _{l}}p^{\nu _{1}\nu _{2}...\nu _{l}}\,}
p
μ
∇
μ
(
K
ν
1
ν
2
.
.
.
ν
l
p
ν
1
ν
2
.
.
.
ν
l
)
=
0
{\displaystyle p^{\mu }\nabla _{\mu }\left({K}_{\nu _{1}\nu _{2}...\nu _{l}}p^{\nu _{1}\nu _{2}...\nu _{l}}\right)=0\,}
度規本身就是一個基靈張量,在膨脹宇宙模型 中,傅里德曼-勒梅特-羅伯遜-沃克度規 也具有類時的基靈張量。
基靈向量的協變導數 與黎曼張量 直接聯繫,彼此關係為
∇
μ
∇
σ
K
ρ
=
R
σ
μ
ν
ρ
K
ν
{\displaystyle \nabla _{\mu }\nabla _{\sigma }K^{\rho }=R_{\sigma \mu \nu }^{\rho }K^{\nu }\,}
與里奇張量 的關係為
∇
μ
∇
σ
K
μ
=
R
σ
ν
K
ν
{\displaystyle \nabla _{\mu }\nabla _{\sigma }K^{\mu }=R_{\sigma \nu }K^{\nu }\,}
從這兩個關係、比安基恆等式 以及基靈方程式可推出里奇純量 在沿基靈向量場的方向導數為零,這是其度規在這些方向上具有幾何不變性的體現:
K
λ
∇
λ
R
=
0
{\displaystyle K^{\lambda }\nabla _{\lambda }R=0\,}
動量守恆是空間平移不變性的體現,而能量守恆則是時間平移不變性的體現。藉助於一個類時的基靈向量我們能夠定義一個全部時空的守恆能量:從基靈向量
K
ν
{\displaystyle K_{\nu }\,}
和能量-動量張量
T
μ
ν
{\displaystyle T_{\mu \nu }\,}
能夠定義一個流
J
μ
=
K
ν
T
μ
ν
{\displaystyle J^{\mu }=K_{\nu }T^{\mu \nu }\,}
這個流是一個守恆量:
∇
μ
J
μ
=
(
∇
μ
K
ν
)
T
μ
ν
+
K
ν
(
∇
μ
T
μ
ν
)
=
0
{\displaystyle \nabla _{\mu }J^{\mu }=\left(\nabla _{\mu }K_{\nu }\right)T^{\mu \nu }+K_{\nu }\left(\nabla _{\mu }T^{\mu \nu }\right)=0\,}
第一項為零是由於基靈方程式,而第二項為零是由於
T
μ
ν
{\displaystyle T_{\mu \nu }\,}
的守恆。
當
K
ν
{\displaystyle K_{\nu }\,}
是一個類時的基靈向量時,可以通過對這個守恆流在整個類空 的超平面
Σ
{\displaystyle \Sigma \,}
內積分從而定義時空中的總能量:
E
=
∫
Σ
J
μ
n
μ
γ
d
3
x
{\displaystyle E=\int _{\Sigma }J^{\mu }n_{\mu }{\sqrt {\gamma }}\,d^{3}x\,}
其中
γ
i
j
{\displaystyle \gamma _{ij}\,}
是超平面
Σ
{\displaystyle \Sigma \,}
的誘導度規 ,而
n
μ
{\displaystyle n_{\mu }\,}
是其法向向量。這實際是廣義相對論中柯瑪質量 的定義,在膨脹宇宙模型中時空中的總能量一般並不是守恆的,這與膨脹宇宙的度規是時間的函數有關。如果存在一個類時的基靈向量,則度規與時間無關,從而存在一個守恆的能量定義。
Sean M. Carroll. Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity (Hardcover). Benjamin Cummings. 2003. ISBN 978-0805387322 (英语) .
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Adler, Ronald; Bazin, Maurice & Schiffer, Menahem. Introduction to General Relativity (Second Edition). New York: McGraw-Hill. 1975. ISBN 0-07-000423-4 (英语) . 見第三章和第九章
Misner, Thorne, Wheeler. Gravitation. W H Freeman and Company. 1973. ISBN 0-7167-0344-0 (英语) .