數學領域,收斂性判別法是判斷無窮級數收斂條件收斂絕對收斂區間收斂發散的方法。

無窮級數
無窮級數

判別法列表

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通項極限判別法

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如果序列通項的極限不為零或無定義,即 ,那麼級數不收斂。在這種意義下,部分和是柯西數列的必要條件是極限存在且為零。這一判別法在通項極限為零時無效。

假設對任何的  。如果存在 使得:

 

如果 ,那麼級數絕對收斂。如果 ,那麼級數發散。如果 ,比例判別法失效,級數可能收斂也可能發散,此時可以考慮高斯判別法。

 是要判斷審斂性的級數,其中(至少從某一項開始) 。倘若其相鄰項比值 可以被表示為:

 

其中  都是常數,而 是一個有界的序列,那麼

  •   時,級數收斂;
  •   時,級數發散。


 

其中 表示上極限(可能為無窮,若極限存在,則極限值等於上極限)。

如果 ,級數絕對收斂。如果 ,級數發散。如果 ,開方判別法無效,級數可能收斂也可能發散。

級數可以與積分式比較來確定其斂散性。令 為一正項單調遞減函數。如果:

 

那麼級數收斂。如果積分發散,那麼級數也發散。

如果 是一個絕對收斂級數且對於足夠大的 ,有 ,那麼級數 也絕對收斂。

如果 ,並且極限 存在非零,那麼 收斂若且唯若 收斂。

具有以下形式的級數 。其中所有的 ,被稱作交錯級數。如果當 趨於無窮時,數列 的極限存在且等於 ,並且每個 小於或等於 (即數列 單調遞減的),那麼級數收斂。如果 是級數的和 那麼部分和 逼近 有截斷誤差 

給定兩個實數數列  ,如果數列滿足 收斂, 單調有界的,則級數 收斂。

參閱

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參考文獻

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外部連結

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