布拉格平面

在物理學中，布拉格平面（英語：Bragg plane）是指在倒易空間中垂直平分倒易矢量$\scriptstyle \mathbf {K}$的平面。布拉格平面被定義為X射線衍射晶體學中衍射峰的勞厄衍射條件的一部分。

圖1. 勞厄方程的光路圖

根據圖1.，入射的X射線的平面波方程為：

$e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }=\cos {(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} )}+i\sin {(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} )}$

其中$\mathbf {r}$為兩個散射中心之間的位置矢量，$\scriptstyle \mathbf {k}$為入射波矢量：

$\mathbf {k} ={\frac {2\pi }{\lambda }}{\hat {n}}$，$\lambda$為光波長，${\hat {n}}$為表示光傳播方向的單位矢量。

布拉格方程是基於反射晶面是唯一的，且反射線方向也是唯一的假設條件推導得到；而勞厄方程僅假設光為單色光，並且每個散射中心都充當惠更斯原理所描述的次級小波源。每個散射波都會貢獻一個新的平面波，如下所示：

$\mathbf {k^{\prime }} ={\frac {2\pi }{\lambda }}{\hat {n}}^{\prime }$

在反射波方向$\scriptstyle {\hat {n}}^{\prime }$發生相長干涉的條件是光程差為光波長$\scriptstyle \lambda$的整數倍：

$|\mathbf {d} |\cos {\theta }+|\mathbf {d} |\cos {\theta ^{\prime }}=\mathbf {d} \cdot \left({\hat {n}}-{\hat {n}}^{\prime }\right)=m\lambda$

其中$\scriptstyle m~\in ~\mathbb {Z}$. 把前面$\mathbf {k}$、$\mathbf {k^{\prime }}$表達式代入即可得到：

$\mathbf {d} \cdot \left(\mathbf {k} -\mathbf {k^{\prime }} \right)=2\pi m$

現在考慮晶體是一個散射中心陣列，即布拉維晶格中的每一個格點都是散射中心，

圖2.藍色即為布拉格平面, 其位置與倒易格矢K有關

選定其中一個散射中心設置為陣列的原點，以原點為起點到達某一個散射中心的格矢為$\scriptstyle \mathbf {R}$，則發生相長干涉的條件是：

$\mathbf {R} \cdot \left(\mathbf {k} -\mathbf {k^{\prime }} \right)=2\pi m$

寫成指數形式是：

$e^{i\left(\mathbf {k} -\mathbf {k^{\prime }} \right)\cdot \mathbf {R} }=1$

根據該方程以及倒易矢量的定義，只有$\scriptstyle \mathbf {K} ~=~\mathbf {k} \,-\,\mathbf {k^{\prime }}$與倒易點陣中一個倒易矢重合時候，才會發生相長干涉。

因為$\scriptstyle \mathbf {k}$ 和 $\scriptstyle \mathbf {k^{\prime }}$具有相同的大小（都為單位矢量，模長為1），所以如圖2所示，所有複合相長干涉條件的入射波矢量$\scriptstyle \mathbf {k}$末端都位於一個平面上，且該平面垂直平分於倒易矢量$\scriptstyle \mathbf {R}$，該平面即為布拉格平面。

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