布拉格平面

在物理学中，布拉格平面（英語：Bragg plane）是指在倒易空间中垂直平分倒易矢量$\scriptstyle \mathbf {K}$的平面。布拉格平面被定义为X射线衍射晶体学中衍射峰的劳厄衍射条件的一部分。

图1. 劳厄方程的光路图

根据图1.，入射的X射线的平面波方程为：

$e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }=\cos {(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} )}+i\sin {(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} )}$

其中$\mathbf {r}$为两个散射中心之间的位置矢量，$\scriptstyle \mathbf {k}$为入射波矢量：

$\mathbf {k} ={\frac {2\pi }{\lambda }}{\hat {n}}$，$\lambda$为光波长，${\hat {n}}$为表示光传播方向的单位矢量。

布拉格方程是基于反射晶面是唯一的，且反射线方向也是唯一的假设条件推导得到；而劳厄方程仅假设光为单色光，并且每个散射中心都充当惠更斯原理所描述的次级小波源。每个散射波都会贡献一个新的平面波，如下所示：

$\mathbf {k^{\prime }} ={\frac {2\pi }{\lambda }}{\hat {n}}^{\prime }$

在反射波方向$\scriptstyle {\hat {n}}^{\prime }$发生相长干涉的条件是光程差为光波长$\scriptstyle \lambda$的整数倍：

$|\mathbf {d} |\cos {\theta }+|\mathbf {d} |\cos {\theta ^{\prime }}=\mathbf {d} \cdot \left({\hat {n}}-{\hat {n}}^{\prime }\right)=m\lambda$

其中$\scriptstyle m~\in ~\mathbb {Z}$. 把前面$\mathbf {k}$、$\mathbf {k^{\prime }}$表达式代入即可得到：

$\mathbf {d} \cdot \left(\mathbf {k} -\mathbf {k^{\prime }} \right)=2\pi m$

现在考虑晶体是一个散射中心阵列，即布拉维晶格中的每一个格点都是散射中心，

图2.蓝色即为布拉格平面, 其位置与倒易格矢K有关

选定其中一个散射中心设置为阵列的原点，以原点为起点到达某一个散射中心的格矢为$\scriptstyle \mathbf {R}$，则发生相长干涉的条件是：

$\mathbf {R} \cdot \left(\mathbf {k} -\mathbf {k^{\prime }} \right)=2\pi m$

写成指数形式是：

$e^{i\left(\mathbf {k} -\mathbf {k^{\prime }} \right)\cdot \mathbf {R} }=1$

根据该方程以及倒易矢量的定义，只有$\scriptstyle \mathbf {K} ~=~\mathbf {k} \,-\,\mathbf {k^{\prime }}$与倒易点阵中一个倒易矢重合时候，才会发生相长干涉。

因为$\scriptstyle \mathbf {k}$ 和 $\scriptstyle \mathbf {k^{\prime }}$具有相同的大小（都为单位矢量，模长为1），所以如图2所示，所有复合相长干涉条件的入射波矢量$\scriptstyle \mathbf {k}$末端都位于一个平面上，且该平面垂直平分于倒易矢量$\scriptstyle \mathbf {R}$，该平面即为布拉格平面。

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